A=ab+ba এবং B=2x2+px6

$A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ এবং $B = {(2 x^{2} + \frac{p}{x})}^{6}$

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

154

(ক)

$x^{x \sqrt[4]{x}} = {(x \sqrt[3]{x})}^{\frac{x}{2}}$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

AHM RAMMOHON TOMIZIA HIGH SCHOOL BARURA, CUMILLA

উত্তরঃ

GEAS UDDIN

1 year ago

(খ)

A = 6 হলে প্রমাণ কর যে, $\log (\frac{a - b}{2}) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$

উত্তরঃ

প্রদত্ত,

$A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

এবং $A = 6$

অতএব,

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 6$

উভয়পক্ষকে $ab$ দ্বারা গুণ করে,

$a^2 + b^2 = 6ab$

বা, $a^2 - 6ab + b^2 = 0$

বা, $a^2 - 2ab + b^2 = 4ab$

বা, $(a - b)^2 = 4ab$

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে,

$a - b = \pm \sqrt{4ab}$

বা, $a - b = \pm 2\sqrt{ab}$

যেহেতু $\log a$ এবং $\log b$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য $a > 0$ এবং $b > 0$ হতে হবে, এবং $\log \left(\frac{a - b}{2}\right)$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য $\frac{a - b}{2} > 0$ অর্থাৎ $a - b > 0$ হতে হবে, তাই আমরা ধনাত্মক বর্গমূল নিই:

$a - b = 2\sqrt{ab}$

উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{a - b}{2} = \sqrt{ab}$

উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে পাই,

$\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (\sqrt{ab})$

বা, $\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (ab)^{\frac{1}{2}}$

লগারিদমের সূত্রানুসারে, $\log x^n = n \log x$, তাই

$\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} \log (ab)$

লগারিদমের সূত্রানুসারে, $\log (xy) = \log x + \log y$, তাই

$\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$

(প্রমাণিত)

Satt AI

2 months ago

(গ)

B এর বিস্তৃতিতে x³ এর সহগ 1280 হলে, p এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $B = \left(2x^2 + \frac{p}{x}\right)^6$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী, $ (a+b)^n $ এর সাধারণ পদ, $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r $

এখানে, $a = 2x^2$, $b = \frac{p}{x}$ এবং $n = 6$

সুতরাং, $B$ এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ,

$T_{r+1} = \binom{6}{r} (2x^2)^{6-r} \left(\frac{p}{x}\right)^r $

$T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} (x^2)^{6-r} p^r (x^{-1})^r $

$T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} p^r x^{12-2r} x^{-r} $

$T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} p^r x^{12-3r} $

$x^3$ এর সহগ নির্ণয়ের জন্য, $x$ এর ঘাতকে 3 এর সমান ধরতে হবে:

$12 - 3r = 3$

$3r = 12 - 3$

$3r = 9$

$r = 3$

$r=3$ হলে, $x^3$ এর সহগ হবে:

সহগ $= \binom{6}{3} 2^{6-3} p^3 $

$= \binom{6}{3} 2^3 p^3 $

আমরা জানি, $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $

সুতরাং, সহগ $= 20 \times 8 \times p^3 = 160p^3 $

প্রশ্নানুযায়ী, $x^3$ এর সহগ 1280।

অতএব,

$160p^3 = 1280$

$p^3 = \frac{1280}{160}$

$p^3 = 8$

$p = \sqrt[3]{8}$

$p = 2$

সুতরাং, $p$ এর মান 2।

Satt AI

2 months ago

154

MCQ: 398 CQ: 141

Practice

দ্বিপদী বিস্তৃতি

বীজগণিতীয় রাশির (একপদী, দ্বিপদী, বহুপদী) যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বর্গ এবং ঘন সংক্রান্ত আলোচনা পূর্ববর্তী শ্রেণিতে করা হয়েছে। দ্বিপদী রাশি বা বহুপদী রাশির ঘাত বা শক্তি তিন এর বেশি হলে সেই সমস্ত ক্ষেত্রে মান নির্ণয় যথেষ্ট শ্রমসাধ্য ও সময়সাপেক্ষ হয়ে পড়ে। এই অধ্যায়ে দ্বিপদী রাশির ঘাত বা শক্তি তিন এর বেশি হলে কি প্রক্রিয়ায় কাজটি সম্পন্ন করা যায়, তা উপস্থাপন করা হবে। সাধারণভাবে ঘাত বা শক্তি এর জন্য সূত্র প্রতিপাদন করা হবে, যার মাধ্যমে যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতের দ্বিপদী রাশির মান নির্ণয় করা সম্ভব হবে। তবে এই পর্যায়ে এর মান একটি নির্দিষ্ট সীমা (n < 8) অতিক্রম করবে না। বিষয়টি যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে বুঝতে ও ব্যবহার করতে পারে সে জন্য একটি ত্রিভুজ ব্যবহার করা হবে যেটি প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) বলে পরিচিত। দ্বিপদী রাশির ঘাত ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ।

Related Question

View All

(১)

দ্বিপদী রাশি কী? উদাহরণ দাও।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

149

উত্তরঃ

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগাণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি বলা হয়। যেমন: 4x + 3, x-4y, ax + b, px² - qy², 3 + 5x, y-4 ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি।

SATT Team

9 months ago

149

(২)

(1 + y)ⁿএর বিস্তৃতির দুইটি বৈশিষ্ট্য লিখ।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

151

উত্তরঃ

(1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতির দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:

i. (1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতিতে (n + 1) সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ, ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

ii. y এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, ....... n পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ y এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে পর্যন্ত পৌছাবে।

SATT Team

9 months ago

151

(৩)

(1 + 3x)⁵ | কে বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

158

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

$(1 + 3 x)^{5} = 1 +^{5} C_{1} (3 x)^{1} +^{5} C_{2} (3 x)^{2} +^{5} C_{3} (3 x)^{3} +^{5} C_{4} (3 x)^{4} +^{5} C_{5} (3 x)^{5}$

$= 1 + \frac{5}{1} 3 x + \frac{5.4}{1.2} . 3^{2} x^{2} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3 .} . 3^{3} . x^{3} + \frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4} 3^{4} . x^{4} + \frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5} 3^{5} . x^{5}$ $= 1 + 5 \times 3 x + 10 \times 9 x^{2} + 10 \times 27 x^{3} + 5 \times 81 x^{4} + 1 \times 243 x^{5}$

$= 1 + 15 x + 90 x^{2} + 270 x^{3} + 405 x^{4} + 243 x^{5}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1 + 15 x + 90 x^{2} + 270 x^{3} + 405 x^{4} + 243 x^{5}$

SATT Team

9 months ago

158

(৪)

${(1 - \frac{x}{2})}^{3}$ এর বিস্তৃতি করে ধ্রুবক পদটি বের কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

167

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${(1 - \frac{x}{2})}^{4} = 1 +^{4} C_{1} {(- \frac{x}{2})}^{1} +^{4} C_{2} {(- \frac{x}{2})}^{2} +^{4} C_{3} {(- \frac{x}{2})}^{3} +^{4} C_{4} {(- \frac{x}{2})}^{4}$ $= 1 + 4 \times \frac{- x}{2} + 6 \times \frac{x^{2}}{4} + 4 \times \frac{- x^{3}}{8} + 1 \times \frac{x^{4}}{16}$

$= 1 - 2 x + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{16} x^{4}$

ধুবক পদ = 1.

SATT Team

9 months ago

167

(৫)

${(1 - \frac{x}{3})}^{4}$ এর বিস্তৃতি করে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

154

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${(1 - \frac{x}{3})}^{4} = 1 +^{4} C_{1} {(- \frac{x}{3})}^{1} +^{4} C_{2} {(- \frac{x}{3})}^{2} +^{4} C_{3} {(- \frac{x}{3})}^{3} +^{4} C_{4} {(- \frac{x}{3})}^{4}$

$= 1 + \frac{4}{1} . (- 1) . \frac{x}{3} + \frac{4.3}{1.2} {(- 1)}^{2} . \frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{4.3.2}{1.2.3} {(- 1)}^{3} . \frac{x^{3}}{3^{3}} + {\frac{4.3.2.1}{1.2.3.4}}^{4} {(- 1)}^{4} . \frac{x^{4}}{3^{4}}$

$= 1 + 4 \times \frac{- x}{3} + 6 \times \frac{x^{2}}{9} + 4 \times \frac{- x^{3}}{27} + 1 \times \frac{x^{4}}{81}$

$= 1 - \frac{4}{3} x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{4}{27} x^{3} + \frac{1}{81} x^{4}$

এখানে পদসংখ্যা $= (4 + 1)$ টি $= 5$ টি

মধ্যপদ $= \frac{5 + 1}{2}$ তম পদ $= \frac{6}{2}$ তম পদ $= 3$ তম পদ $= \frac{2}{3} x^{2}$

নির্ণেয় মধ্যপদ $\frac{2}{3} x^{2}$

SATT Team

8 months ago

154

(৬)

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে $(1 + y)^{6}$ এর বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি

160

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে

$(1 + y)^{6} = 1 +^{6} C_{1} y^{1} +^{6} C_{2} y^{2} +^{6} C_{3} y^{3} +^{6} C_{4} y^{4} +^{6} C_{5} y^{5} +^{6} C_{6} y^{6}$

$= 1 + \frac{6}{1} y + \frac{6.5}{1.2} y^{2} + \frac{6.5.4}{1.2.3} y^{3} + \frac{6.5.4.3}{1.2.3.4} y^{4} + \frac{6.5.4.3.2}{1.2.3.4.5} y^{5} + \frac{6.5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5.6} y^{6}$ $= 1 + 6 y + 15 y^{2} + 20 y^{3} + 15 y^{4} + 6 y^{5} + y^{6}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $1 + 6 y + 15 y^{2} + 20 y^{3} + 15 y^{4} + 6 y^{5} + y^{6}$

SATT Team

8 months ago

160

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

$A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ এবং $B = {(2 x^{2} + \frac{p}{x})}^{6}$

Related Question

Related Question

Promotion