$x^{x\sqrt[4]{x}}={\left(x\sqrt[3]{x}\right)}^{\frac{x}{2}}$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর। 

প্রদত্ত,

\(A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\)

এবং \(A = 6\)

অতএব,

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 6\)

উভয়পক্ষকে \(ab\) দ্বারা গুণ করে,

\(a^2 + b^2 = 6ab\)

বা, \(a^2 - 6ab + b^2 = 0\)

বা, \(a^2 - 2ab + b^2 = 4ab\)

বা, \((a - b)^2 = 4ab\)

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে,

\(a - b = \pm \sqrt{4ab}\)

বা, \(a - b = \pm 2\sqrt{ab}\)

যেহেতু \(\log a\) এবং \(\log b\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(a > 0\) এবং \(b > 0\) হতে হবে, এবং \(\log \left(\frac{a - b}{2}\right)\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(\frac{a - b}{2} > 0\) অর্থাৎ \(a - b > 0\) হতে হবে, তাই আমরা ধনাত্মক বর্গমূল নিই:

\(a - b = 2\sqrt{ab}\)

উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{a - b}{2} = \sqrt{ab}\)

উভয়পক্ষে \(\log\) নিয়ে পাই,

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (\sqrt{ab})\)

বা, \(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (ab)^{\frac{1}{2}}\)

লগারিদমের সূত্রানুসারে, \(\log x^n = n \log x\), তাই

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} \log (ab)\)

লগারিদমের সূত্রানুসারে, \(\log (xy) = \log x + \log y\), তাই

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)\)

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, \(B = \left(2x^2 + \frac{p}{x}\right)^6\)

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী, \( (a+b)^n \) এর সাধারণ পদ, \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \)

এখানে, \(a = 2x^2\), \(b = \frac{p}{x}\) এবং \(n = 6\)

সুতরাং, \(B\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ,

\(T_{r+1} = \binom{6}{r} (2x^2)^{6-r} \left(\frac{p}{x}\right)^r \)

\(T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} (x^2)^{6-r} p^r (x^{-1})^r \)

\(T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} p^r x^{12-2r} x^{-r} \)

\(T_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} p^r x^{12-3r} \)

\(x^3\) এর সহগ নির্ণয়ের জন্য, \(x\) এর ঘাতকে 3 এর সমান ধরতে হবে:

\(12 - 3r = 3\)

\(3r = 12 - 3\)

\(3r = 9\)

\(r = 3\)

\(r=3\) হলে, \(x^3\) এর সহগ হবে:

সহগ \(= \binom{6}{3} 2^{6-3} p^3 \)

\(= \binom{6}{3} 2^3 p^3 \)

আমরা জানি, \(\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)

সুতরাং, সহগ \(= 20 \times 8 \times p^3 = 160p^3 \)

প্রশ্নানুযায়ী, \(x^3\) এর সহগ 1280।

অতএব,

\(160p^3 = 1280\)

\(p^3 = \frac{1280}{160}\)

\(p^3 = 8\)

\(p = \sqrt[3]{8}\)

\(p = 2\)

সুতরাং, \(p\) এর মান 2।