B এর বিস্তৃতিতে x³ এর সহগ 1280 হলে, p এর মান নির্ণয় কর। 

প্রদত্ত,

\(A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\)

এবং \(A = 6\)

অতএব,

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 6\)

উভয়পক্ষকে \(ab\) দ্বারা গুণ করে,

\(a^2 + b^2 = 6ab\)

বা, \(a^2 - 6ab + b^2 = 0\)

বা, \(a^2 - 2ab + b^2 = 4ab\)

বা, \((a - b)^2 = 4ab\)

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে,

\(a - b = \pm \sqrt{4ab}\)

বা, \(a - b = \pm 2\sqrt{ab}\)

যেহেতু \(\log a\) এবং \(\log b\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(a > 0\) এবং \(b > 0\) হতে হবে, এবং \(\log \left(\frac{a - b}{2}\right)\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(\frac{a - b}{2} > 0\) অর্থাৎ \(a - b > 0\) হতে হবে, তাই আমরা ধনাত্মক বর্গমূল নিই:

\(a - b = 2\sqrt{ab}\)

উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{a - b}{2} = \sqrt{ab}\)

উভয়পক্ষে \(\log\) নিয়ে পাই,

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (\sqrt{ab})\)

বা, \(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \log (ab)^{\frac{1}{2}}\)

লগারিদমের সূত্রানুসারে, \(\log x^n = n \log x\), তাই

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} \log (ab)\)

লগারিদমের সূত্রানুসারে, \(\log (xy) = \log x + \log y\), তাই

\(\log \left(\frac{a - b}{2}\right) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)\)

(প্রমাণিত)