AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে প্রমাণ কর যে,

PQ || BC এবং PQ = $\frac{1}{2}$BC.

(কঠিনমান)

বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি x হলে ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণ = x - 15°

শর্তমতে, x + x - 15°= 90° বা, 2x - 15° = 90°

বা, 2x = 105° বা, x = $\frac{105°}{2}=52.5°$

ক্ষুদ্রতর কোণ, x - 15° = 52.5° - 15° =37.5° (Ans.)

আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুটি অংশে বিভক্ত করে।

$\therefore$ ∆ABD এর ক্ষেত্রফল= ∆ADC এর ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2}$ × BD × AE = $\frac{1}{2}$ × 2BE × AE = $\frac{1}{2}$ ×  2 × 3 × 4 বর্গ সে.মি.

= 12 বর্গ সে.মি. (Ans.)

ABC সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় AB = BC = AC = 6 সে.মি. সমবাহু ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষ হতে তার বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ রাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$ 6 = 3 সে.মি

এখন, ABD সমকোণী ত্রিভুজে, AB² = AD² + BD²

বা, AD² =AB² - BD² =  6²-3² = 36 - 9 = 27

AD = $\sqrt{27}$ = $3\sqrt{3}$ সে.মি. (Ans.)

সমাধান: ∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

AB² = AC² - BC² = (10)² - (6)² = 100 - 36 = 64

$\therefore$  AB = 8 সে.মি.

এখন, পরিসীমা = AB + BC + AC = (8 + 6 + 10) সে.মি. = 24 সে.মি. (Ans.)

∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

বা, AB² = AC² - BC²

বা, AB = $\sqrt{AC²-BC²}$ = $\sqrt{\left(13\right)²-\left(5\right)²}$ = $\sqrt{169-25}$

= $\sqrt{144}$ = 12 সে.মি.

এখন, ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$× BC × AB

= $\frac{1}{2}$ × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি. (Ans.)

সমাধান: △ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হলে AB = BC

এখন, ∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

বা, AB² + AB² = AC²

বা, 2AB² = ($5\sqrt{2}$)²

বা, 2AB² = 50

বা, AB² = 25

$\therefore$ AB=5 সে.মি. (Ans.)