$△$ABC এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমান ধারবিশিষ্ট তিনটি লোহার ঘনককে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক তৈরি করা হলো।

এখানে, $△$ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যার AB = 13 সে.মি. এবং BC = ।5 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

বা, $A{C}^2=A{B}^2-B{C}^2$

$=(13{)}^2-(5{)}^2$ = 169 - 25 = 144

$\therefore$ AC = 12

$\therefore$ AC এর দৈর্ঘ্য 12 সে. মি.।

চিত্র হতে পাই,

$\tan \theta =\frac{AC}{BC}= \frac{12}{5} , sec \theta =\frac{AB}{BC}= \frac{13}{5}$

এবং $\sin \theta =\frac{AC}{AB}= \frac{12}{13}$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{\tan \theta + sec \theta - 1}{\tan \theta - sec \theta + 1}+ \sqrt{\frac{1 - \sin \theta }{1 + \sin \theta }}$

$= \frac{{\displaystyle \frac{12}{5}}+ {\displaystyle \frac{13}{5}}- 1}{\frac{12}{5}-\frac{13}{5}+ 1}+\sqrt{\frac{1 - {\displaystyle \frac{12}{13}}}{1 +\frac{12}{13}}}= \frac{{\displaystyle \frac{12 + 13 - 5}{5}}}{{\displaystyle \frac{12-13+5}{5}}} +\sqrt{\frac{{\displaystyle \frac{13-12}{13}}}{{\displaystyle \frac{13-12}{13}}}}$

$= \frac{20}{5}\times \frac{5}{4}+ \sqrt{\frac{1}{13}\times \frac{13}{25}}= 5 + \sqrt{\frac{1}{25}}= 5 + \frac{1}{5} =\frac{25 + 1}{5}= \frac{26}{5}$

নিণেয় মান : $\frac{26}{5}$

∆ABC এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমান ধারবিশিষ্ট তিনটি লোহার ঘনক তৈরি করা হলে, লোহার ঘনকের ধার যথাক্রমে 12 সে.মি., 5 সে. মি. ও 13 সে. মি. হবে।

ঘনক তিনটির আয়তন যথাক্রমে (12)³ ঘন সে. মি. বা, 1728 ঘন সে.মি., (5)³ ঘন সে. মি. বা, 125 ঘন সে. মি. এবং (13)³ ঘন সে. 'মি.

বা, 2197 ঘন সে. মি.

ঘনক তিনটি গলিয়ে নতুন ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের আয়তন হবে = (1728 + 125 + 2197) ঘন সে. মি. 4050 ঘন সে. মি.

নতুন ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = $\sqrt[3]{4050}$ সে. মি. = 15.94 সে. মি.

নতুন ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= $15.94\sqrt{3}$ সে. মি.  = 27.61 সে. মি.

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 27.61 সে. মি.