Δ ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

Created: 5 months ago | Updated: 5 months ago

Updated: 5 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

(ক)

ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

উত্তরঃ

△ ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। BC বাহুর উপর AE লম্ব অঙ্কন করি। সুতরাং DE হবে AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ।

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(খ)

দেখাও যে, $A B^{2} + A C^{2} = 2 (A D^{2} + B D^{2}) .$

উত্তরঃ

$∆$ ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। দেখাতে হবে যে, $A B^{2} + A C^{2} - 2 (A D^{2} + B D^{2}) .$

অঙ্কন: BC বাহুর উপর এবং BC বাহুর বর্ধিতাংশের উপর AP লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ: △ ABD এর ∠ADB স্থূলকোণ এবং BD রেখার বর্ধিতাংশের ওপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP [উভয় চিত্রে]

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে আমরা পাই,

$A B^{2} = A D^{2} + B D^{2} + 2 B D . D P . . . . . . . . . (1)$

এখানে, △ ACD এর ∠ADC সূক্ষ্মকোণ এবং DC রেখার চিত্র (খ) এবং DC রেখার বর্ধিতাংশের চিত্রে (খ) ওপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP.

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 C D . D P . . . . . . . (2)$

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,

$A B^{2} + A C^{2} = 2 A D^{2} + 2 B D^{2} + C D^{2} + 2 B D . D P - 2 C D . D P$

$= 2 A D^{2} + B D^{2} + B D^{2} + 2 B D . D P - 2 B D . D P [B D = C D]$

$= 2 A D^{2} + 2 B D^{2}$

$A B^{2} + A C^{2} = 2 (A D^{2} + B D^{2})$ (দেখানো হলো)

Najjar Hossain Raju

5 months ago

(গ)

BC এর উপর AE লম্ব হলে, দেখাও যে, BE কে AE এর চারদিকে ঘুরালে যে ঘন বস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতল $\frac{{πr}^{2}}{\sin α}$ বর্গ একক। যেখানে, r = BE এবং $α$ = $∠$ ΒΑΕ.

উত্তরঃ

BE বাহুকে AE এর চতুর্দিকে ঘুরালে উৎপন্ন ঘন বস্তুটি হবে কোণক। যার উচ্চতা হবে AE এবং ব্যাসার্ধ BE.

ধরি, কোণকের উচ্চতা AE = h হেলানো উচ্চতা AB = $τ$ ভূমির ব্যাসার্ধ BE = r এবং অর্ধ শীর্ষকোণ $∠$ BAE = $α$ এবং B সমগ্রতল = S

হেলানো উচ্চতা = $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$

চিত্র হতে দেখা যায় যে,

$\tan α = \frac{r}{h}$

∴ $r = h \tan α$

বা, $h = \frac{r}{\tan α} = r c o t α$

এখন $S = π r l = π r \sqrt{h^{2} + h^{2} t a n^{2} α}$

$= x r h \sqrt{1 + t a n^{2} α} = πrh \sqrt{\sec^{2} α} = πrh \sec α$

$= \frac{πr}{\cos α} . r c o t α$

$= \frac{{πr}^{2}}{\cos α} . r \frac{\cos α}{\sin α}$

$= \frac{{πr}^{2}}{\sin α}$ বর্গ একক

সুতরাং BE কে AE এর চারদিকে ঘুরালে যে ঘন বস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতল $\frac{{πr}^{2}}{\sin α}$ বর্গ একক। (দেখানো হলো)

Najjar Hossain Raju

5 months ago

MCQ: 7 CQ: 54

Practice

Related Question

View All

(১)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 5 সে.মি., লম্ব 12 সে.মি. হলে, অতিভুজ = কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

147

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

147

(২)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 3 সে.মি., অতিভুজ 5 সে.মি. হলে, লম্ব= ?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

148

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$\sqrt{5^{2}} - 3^{2} = \sqrt{16} = 4 = 4 c m$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

148

(৩)

ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ AB = 12 সে.মি. এবং AC= 13 সে.মি. হলে, BC এর মান কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

129

উত্তরঃ

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ . AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$

$B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = (13)^{2} - (12)^{2} = 169 - 144 = 25 B C = \sqrt{25} = 5$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

129

(৪)

একটি রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ চিত্র এঁকে দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

120

উত্তরঃ

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

Affan Ahmed

7 months ago

120

(৫)

চিত্রসহ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপের সংজ্ঞা দাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

271

উত্তরঃ

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

Affan Ahmed

7 months ago