$∆$ ABC এর AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Created: 7 months ago | Updated: 5 months ago

Updated: 5 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

126

(ক)

উপরের তথ্যানুযায়ী চিত্র অঙ্কন কর এবং দেখাও যে, OA=2OD

উত্তরঃ

এখানে, △ ABC এর AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Δ ABC এর ভরকেন্দ্র O । আমরা জানি, ভরকেন্দ্র মধ্যমাগুলোকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

$\frac{O A}{O D} = \frac{2}{1}$

OA= 2OD (দেখানো হলো)

Affan Ahmed

7 months ago

(খ)

প্রমাণ কর যে, $A B^{2} + A C^{2} = 2 (A D^{2} + B D^{2}) .$

উত্তরঃ

$∆$ ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। দেখাতে হবে যে, $A B^{2} + A C^{2} - 2 (A D^{2} + B D^{2}) .$

অঙ্কন: BC বাহুর উপর এবং BC বাহুর বর্ধিতাংশের উপর AP লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ: △ ABD এর ∠ADB স্থূলকোণ এবং BD রেখার বর্ধিতাংশের ওপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP [উভয় চিত্রে]

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে আমরা পাই,

$A B^{2} = A D^{2} + B D^{2} + 2 B D . D P . . . . . . . . . (1)$

এখানে, △ ACD এর ∠ADC সূক্ষ্মকোণ এবং DC রেখার চিত্র (খ) এবং DC রেখার বর্ধিতাংশের চিত্রে (খ) ওপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP.

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 C D . D P . . . . . . . (2)$

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,

$A B^{2} + A C^{2} = 2 A D^{2} + 2 B D^{2} + C D^{2} + 2 B D . D P - 2 C D . D P$

$= 2 A D^{2} + B D^{2} + B D^{2} + 2 B D . D P - 2 B D . D P [B D = C D]$

$= 2 A D^{2} + 2 B D^{2}$

$A B^{2} + A C^{2} = 2 (A D^{2} + B D^{2})$ (দেখানো হলো)

Affan Ahmed

7 months ago

(গ)

$B C = a, A C = b, A B = c, A D = d, B E = e$ এবং $C F = f$ হলে, প্রমাণ কর যে $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + c^{2} + f^{2}) .$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, △ ABC এর AB, BE ও CF মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

△ ABC এ BC = a, AC = b, AD = d, BE = c এবং CF = fI

প্রমাণ করতে হবে যে, $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + c^{2} + f^{2})$

প্রমাণ: △ ABC এর BE একটি মধ্যমা।

$A B^{2} + B C^{2} = 2 (A E^{2} + B E^{2})$

এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে

$c^{2} + a^{2} = 2 \{{(\frac{1}{2} b)}^{2} + c^{2}\} c^{2} + a^{2} = \frac{b^{2}}{2} + 2 c^{2} 2 c^{2} = c^{2} + a^{2} - \frac{b^{2}}{2} c^{2} = \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4}$

কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য' জানা থাকলে মধ্যমাসমূহের দৈর্ঘ্য জানা যায়।

এখন,

$d^{2} + c^{2} + f^{2}$

$= \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} + \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4} + \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4}$

$d^{2} + c^{2} + f^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2}) + c^{2})$

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + c^{2} + f^{2})$ (প্রমাণিত)

Affan Ahmed

7 months ago

126

MCQ: 7 CQ: 54

Practice

Related Question

View All

(১)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 5 সে.মি., লম্ব 12 সে.মি. হলে, অতিভুজ = কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

147

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

147

(২)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 3 সে.মি., অতিভুজ 5 সে.মি. হলে, লম্ব= ?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

148

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$\sqrt{5^{2}} - 3^{2} = \sqrt{16} = 4 = 4 c m$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

148

(৩)

ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ AB = 12 সে.মি. এবং AC= 13 সে.মি. হলে, BC এর মান কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

129

উত্তরঃ

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ . AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$

$B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = (13)^{2} - (12)^{2} = 169 - 144 = 25 B C = \sqrt{25} = 5$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

129

(৪)

একটি রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ চিত্র এঁকে দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

120

উত্তরঃ

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

Affan Ahmed

7 months ago

120

(৫)

চিত্রসহ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপের সংজ্ঞা দাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

271

উত্তরঃ

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

Affan Ahmed

7 months ago

271

(৬)

$△$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি. হলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

উত্তরঃ

এখানে, $∆$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি.।

PQ এর P বিন্দু থেকে QR রেখার ওপর PT লম্ব আঁকি যা QR কে T বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ QT

আবার,

$Q T = \frac{1}{2} Q R = \frac{1}{2} \times 7 = 3.5$

নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি.।

Affan Ahmed

7 months ago

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

∆ ABC এর AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Related Question

Related Question

$∆$ ABC এর AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।