$BC=a, AC=b, AB=c, AD=d, BE=e$ এবং $CF=f$ হলে, প্রমাণ কর যে $3(a^2+b^2+c^2) = 4(d^2+c^2 +f^2).$

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$$\begin{gathered} \sqrt{{12}^2+5^2} \\ =\sqrt{169} \\ =13 \end{gathered}$$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$$\begin{gathered} \sqrt{5^2}-3^2 \\ =\sqrt{16} \\ =4 \\ =4 cm \end{gathered}$$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $\angle$B = 90$°$. AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2 \\ =(13{)}^2-(12{)}^2=169-144=25 \\ BC =\sqrt{25}=5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, $∆$PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি.।

PQ এর P বিন্দু থেকে QR রেখার ওপর PT লম্ব আঁকি যা QR কে T বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ QT

আবার,

$$\begin{gathered} QT=\frac{1}{2}QR \\ =\frac{1}{2}\times 7 \\ =3.5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি.।