ABC বৃত্তের AB ও AC দুইটি জ্যা A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ও AC দুইটি জ্যা। জ্যা দুইটি A বিন্দুতে অঙ্কিত AO ব্যাসার্ধের সাথে ∠BAO ও ∠CAO কোণদ্বয় উৎপন্ন করে।

মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র। AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ AO-এর সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC.

অঙ্কন : O হতে AB-এর উপর OM এবং AC-এর উপর ON লম্ব টানি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. ∆ AOM ও ∆ AON-এর মধ্যে ∠AMO = ∠ANO [প্রত্যেকেই এক সমকোণ]

∠OAM = ∠OAN

এবং OA = OA [সাধারণ বাহু]

ΔΑΟΜ $\equiv$ ΔΑΟΝ [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা]

সুতরাং AM = AN

ধাপ ২. AM = $\frac{1}{2}$ AB

এবং AN = $\frac{1}{2}$ AC [M ও N যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু]

ধাপ ৩. $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$AC [ধাপ (১) ও (২) হতে]

$\therefore$ AB = AC (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে জ্যা AB = জ্যা AC । O, A যোগ করি । O বিন্দু হতে জ্যা AB ও AC এর উপর যথাক্রমে OM ও ON লম্ব আঁকি। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO = ∠CAO.

প্রমাণ:

ধাপ ১. এখানে AB জ্যা = CD জ্যা

আমরা জানি, সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী।

OM = ON

ধাপ ২. △ OAM ও △ OAN সমকোণী ত্রিভুজন্বয়ে

OM = ON [ধাপ (১)]

OA = OA [সাধারণ বাহু]

△ΟΑΜ = △ΟΑΝ [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা]

△ ΜΑΟ = △ ΝΑΟ

∠BAO = ∠CAO. (দেখানো হলো)