ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠C = এক সমকোণ।

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠C= এক সমকোণ বা 90°

∠A + ∠B + ∠C = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, ∠A + ∠B + 90° = 180°

বা, ∠A +∠B = 180° - 90° - 90°

বা, $\frac{1}{2}$ (∠A+∠B) = $\frac{1}{2}\times$90°

$\therefore$ $\frac{1}{2}$ (A+B) = 45°

মনে করি, △ABC ও △DEF-এ ∠C ও ∠F সমকোণ এবং ∠B = ∠E। প্রমাণ করতে হবে, ABC ও DEF ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

প্রমাণ: ধাপ ১ : △ABC ও △DEF-এ, ∠ABC = ∠DEF [কল্পনা]

∠ACB = ∠DFE [প্রত্যেকে এক সমকোণ]

ধাপ ২: ∠A + ∠B + ∠C =∠D + ∠E + ∠F [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, ∠A = ∠D

∠BAC = ∠EDF [ধাপ (১) থেকে

অতএব, ABC ও DEF ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী ও সদৃশ। (প্রমাণিত)

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ACB সমকোণ এবং AB অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB = A{C}^2 + B{C}^2.$

অঙ্কন: AB, AC এবং BC বাহুর উপর যথাক্রমে ABED, ACGF এবং BCHK বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করি। C বিন্দু দিয়ে AD বা BE রেখার সমান্তরাল CL রেখা আঁকি। মনে করি, তা AB কে M বিন্দুতে এবং DE কে L বিন্দুতে ছেদ করে। C ও D এবং B ও F যোগ করি।

প্রমাণ: ধাপ ১. △CAD ও △FAB-এ, CA = AF, AD = AB এবং অন্তর্ভুক্ত ∠CAD = ∠CAB + ∠BAD = ∠CAB + ∠CAF [∠BAD = ∠CAF = 1 সমকোণ] = অন্তর্ভুক্ত ∠BAF

অতএব, △CAD $\equiv$ △FAB [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ২. ত্রিভুজক্ষেত্র CAD এবং আয়তক্ষেত্র ADLM একই ভূমি AD এর উপর এবং AD ও CL সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং, আয়তক্ষেত্র ADLM = 2 (ত্রিভুজক্ষেত্র CAD)

ধাপ ৩. ত্রিভুজক্ষেত্র BAF এবং বর্গক্ষেত্র ACGF একই ভূমি AF এর উপর এবং AF ও BG সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং, বর্গক্ষেত্র ACGF = 2 (ত্রিভুজক্ষেত্র FAB) = 2 (ত্রিভুজক্ষেত্র CAD) [উপপাদ্য-১]

ধাপ ৪. আয়তক্ষেত্র ADLM = বর্গক্ষেত্র ACGF

ধাপ ৫. অনুরূপভাবে C, E ও A, K যোগ করে প্রমাণ করা যায় যে, আয়তক্ষেত্র BELM = বর্গক্ষেত্র BCHK [(২) ও (৩) থেকে]

ধাপ ৬. আয়তক্ষেত্র (ADLM + BELM) = বর্গক্ষেত্র ACGF + বর্গক্ষেত্র BCHK [(৪) ও (৫) থেকে]

বা, বর্গক্ষেত্র ABED বর্গক্ষেত্র ACGF + বর্গক্ষেত্র BCHK অর্থাৎ, $AB = A{C}^2 + B{C}^2.$ (প্রমাণিত),