cosec $A - cot A = \frac{1}{x}$হলে ,

দেওয়া আছে, $cosec A- cot A = \frac{1}{x}$

বা, $\frac{\left(\cos ec A - cot A\right) (cosec A+ cot A)}{(cosec A + cot A) }= \frac{1}{x}$

বা, $\frac{\cos e{c}^{2}A-co{t}^{2}A}{cosec A+cot A}$= $\frac{1}{x}$

বা, $\frac{1}{cosec A+cot A}=\frac{1}{x}$

$\therefore$ $cosec A+ cot A = x$

নির্ণেয় মান : x.

দেওয়া আছে,  $cosec A - cot A = \frac{1}{x}$

বা, $\frac{1}{\sin A}- \frac{\cos A}{\sin A}= \frac{1}{x}$

বা, $\frac{1-\cos A}{sinA}=\frac{1}{x}$

বা, ${\left(\frac{1-\cos A}{\sin A}\right)}^2={\left(\frac{1}{x}\right)}^2$  [বর্গ করে]

বা, $\frac{{\left(1-\cos A\right)}^2}{{\sin }^{2}A}=\frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{{\left(1-\cos A\right)}^2}{1-{\cos }^{2}A}=\frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{\left(1-\cos A\right) \left(1-cosA\right)}{\left(1+cosA\right) \left(1-cosA\right)}=\frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{1-\cos A}{1+cosA}=\frac{1}{x^2}$

বা, $\frac{1-\cos A+1+\cos A}{1-cosA-1-cosA}=\frac{1+x^7}{1-x^2}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2}{-2 cos A}=\frac{x^2+1}{-(x^2-1)}$

বা, $\frac{1}{cosA}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

$\therefore$ $sec A=\frac{x^2+1}{x^2-1}$(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে , $cosec A- cot A = \frac{1}{x}$ ________ (i)

ক-হতে প্রাপ্ত, cosec A + cot A = x ___________ (ii)

খ-হতে প্রাপ্ত, $sec A=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

cosec A + cot A - cosec A + cot A = x - $\frac{1}{x}$

বা, $2 cot A =\frac{x^2-1}{x}$

বা, $cot A =\frac{x^2-1}{2x}$

বা, $\frac{1}{\tan A} =\frac{x^2-1}{2x}$

বা, $\tan A = \frac{2x}{x^2-1}$

(i) নং এ $cot A =\frac{x^2-1}{2x}$ বসিয়ে পাই,

$\cos ec A = \frac{x^2-1}{2x}=\frac{1}{x}$

বা, $\cos ec A =\frac{1}{2}+\frac{x^2-1}{2x}=\frac{2 + x^2-1}{2x}=\frac{x^2+1}{2x}$

বামপক্ষ = tan A + cot A

= $\frac{2x}{x^2-1}+\frac{x^2-1}{2x}$

= $\frac{4x^2+x^4-x^2-x^2+1}{2x (x^2-1)}$

= $\frac{x^4+2x^2 + 1}{2x (x^2-1)}$

ডানপক্ষ = sec A cosec A

= $\frac{x^2+1}{x^2-1}.\frac{x^2+1}{2x}$

= $\frac{x^4+x^2+x^2 + 1}{2x (x^2-1)}$

= $\frac{x^4+2x^2 + 1}{2x (x^2-1)}$

$\therefore$tan A + cot A = sec A cosec A. (প্রমাণিত)