During the next Tree Plantation Week, DBBL is considering planting trees in one of its rectangular piece of land which is 90 feet long and 66 feet wide. The land is surrounded by boundary wall of 5 feet height. It has been decided that trees will be planted leaving 5 feet land free from the wall in all four sides. It was also decided that the distance from one tree to another in both row and column will be 4 feet. What is the maximum number of trees that can be planted in the land?

(Geometry-Rectangle)

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র দৈর্ঘ্য x প্রস্থ।

দেয়া আছে, রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৫০-২x) মিটার

$\therefore$রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (৪০-২x) মিটার

প্রশ্নমতে, (৫০-২x)(৪০-২x)=১২০০

=২০০০-১০০x-৮০x+৪x^২=১২০০

=x^২-৪৫x+২০০=০

=x^২-৪০x-৫x+২০০=০

=x(x-৪০)-৫(x-৪০)=০

$\therefore$(x-৪০) (x-৫)=০

এখানে x=৪০ হতে পারে না কেননা, তা প্রস্থের সমান হয়ে যায়।

$\therefore$x=৫

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 

= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 

=২(৫০+৪০) মিটার

=২$\times$৯০ মিটার

=১৮০ মিটার

এখন, বর্গাকার ক্ষেত্রের একবাহু x হলে ৪x হলো তার পরিসীমা।

প্রশ্নমতে, ৪x = ১৮০

=x=$\frac{১৮০}{৪}=৪৫$

$\therefore$^x২=(৪৫)^২=২০২৫

অর্থ্যাৎ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ২০২৫ বর্গমিটার।

দেয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ ফুট

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৫^২ = ২৫ ফুট 

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট

দেয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪ ফুট

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= $\frac{২৫}{৪}=৬.২৫$ ফুট

Let, the length of the rectangle is x meter 

And the width of the rectangle is y meter

According to question,

$$\begin{gathered} 2y=x+10 ............ \left(i\right) \\ And xy=600 ....... \left(ii\right) \\ From equation \left(ii\right) \\ xy=600 \\ x=\frac{600}{y}...........\left(iii\right) \\ Putting the value of x in equation \left(i\right) \\ 2y=x+10 \\ \Rightarrow 2y=\frac{600}{y}+10 \\ \Rightarrow 2y^2-10y-600=0 \\ \Rightarrow y^2-5y-300=0 \left[Dividing both sides by 2\right] \\ \Rightarrow y^2-20y+15y-300=0 \\ \Rightarrow y\left(y-20\right)+15\left(y-20\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \\ \therefore \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \end{gathered}$$

Since width cannot be (-)ve. So we find y=20

That means the width of the rectangle is 20 meters

The length of the rectangle is $x=\frac{600}{y}$ 

$\therefore x=\frac{600}{20}=30$

The length of the rectangle is 30 meters.

 The perimeter of the rectangle = $2\times (30+20) = 2\times 50=100$ meters. 

ans. The perimeter is 100m.