$i) 1+\frac{1}{2p+3}+\frac{1}{{\left(2p+3\right)}^2}$$+...$

$ii)$ $11 + 121 + 1221 +......$

দেওয়া আছে,  $a^2+b^2=2ab$

বা, $a^2+b^2+2ab=2ab+2ab$

বা, $(a+b{)}^2=4ab$

বা, $\frac{(a+b{)}^2}{4}=ab$

বা,  ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2= ab$

বা, $\left(\frac{a+b}{2}\right)= a{b}^{\frac{1}{2}}$

বা, ${\log }_k\left(\frac{a+b}{2}\right)={\log }_k(ab{)}^{\frac{1}{2}}$

$\therefore$ ${\log }_k\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{1}{2} {\log }_k\left(ab\right)$ (দেখানো হলো)

(ii) নং ধারাটি : 11 + 121 + 1221 + ______

মনে করি, ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি

S = 11 + 121 + 1221 + _______

বা, S = 11 ( 1 + 11 + 111 + ________ n পদ পর্যন্ত)

বা,  $\frac{S}{11}$ = ( 1 + 11 + 111 + ________ n পদ পর্যন্ত)

বা, $\frac{9S}{11}$=  9 + 99 + 999 + ________ n পদ পর্যন্ত

বা, $\frac{9S}{11}$ = (10 - 1) + (100 - 1) + (100 - 1) + ______ n পদ পর্যন্ত

বা, $\frac{9S}{11}=(10-1)+({10}^2-1)+({10}^3-1)+$ ______ n পদ পর্যন্ত

বা,  $\frac{9S}{11}$= $10+{10}^2+{10}^3+$ ______ n পদ পর্যন্ত - n

বা, $\frac{9S}{11}=10\left(1+10+{10}^2+....................+{10}^{p-1}\right)-n$

বা, $S=\frac{110}{9}(1+10+{10}^2+$ ______ $+{10}^{n-1}$ ) - $\frac{11n}{9}$

$=\frac{11}{9}\times \frac{{10}^n-1}{9}-\frac{11n}{9}$

$= \frac{110({10}^n - 1)}{81}-\frac{11n}{9}$

নির্ণেয় n সংখ্যক পদের সমষ্টি $= \frac{110({10}^n - 1)}{81}-\frac{11n}{9}$

প্রদত্ত ধারাটি : $1+\frac{1}{2p+3}+\frac{1}{(2p+3{)}^2}+$ _______

ধারার প্রথম পদ, a = 1

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{2p + 0.3}÷ 1 = \frac{1}{2p + 3}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, $\frac{1}{2p + 3}< 1$ হয়

অর্থাৎ $- 1 < \frac{1}{2p + 3}< 1$

এখানে,

বা, 1 > 2p + 3

বা, 1 - 3 > 2p

বা, 4 > 2p

বা, 2 > p

$\therefore$ p < - 2

অথবা,

বা, 2p + 3 > 1

বা, 2p > 1 - 3

বা, 2p > - 2

$\therefore$ p > - 1

শর্ত : p < - 2 অথবা p > - 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$= \frac{1}{1 - {\displaystyle \frac{1}{2p + 3}}}$

$= \frac{1}{{\displaystyle \frac{2p + 3 - 1}{2p + 3}}}= \frac{1}{{\displaystyle \frac{2p + 2}{2p + 3}}}$

$= 1\times \frac{2p + 3}{2p + 2}=\frac{2p + 3}{2p + 2} .$

নির্ণেয় শর্ত p < - 2 অথবা p > - 1 এবং অসীমতক সমষ্টি $\frac{2p + 3}{2p + 2}$