$i) \frac{1}{3x+1}+\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^3}+.......$

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো : $\frac{1}{3x+1}+\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(3x+1\right)}^3}$+ ________

এখন, x = 1 হলে ধারাটি হবে, $\frac{1}{3.1+1}+\frac{1}{{\left(3.1+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(3.1+1\right)}^3}$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+$ _______

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+$ ________

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{4}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{{\displaystyle \frac{1}{16}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}= \frac{1}{16 }\times 4 = \frac{1}{4}$

নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অনুপাত $\frac{1}{4}$

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো : $\frac{1}{(3x+1)}+\frac{1}{(3x+1{)}^2}+\frac{1}{(3x+1{)}^3}+$ _______

$x =\frac{1}{3}$ হলে, ধারাটি হবে:

$\frac{1}{3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+1}+\frac{1}{{\left(3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+1\right)}^3}+$ _________

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+$ _______

ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{2}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}\times \frac{2}{1}=\frac{1}{2}<1$

সাধারণ সপ্তম পদ , $=a{r}^{7-1}=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^6={\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$

এবং ধারাবাহিক প্রথম 10টি পদের সমষ্টি,

$S_{10}=\frac{a(1-r^{10})}{(1-r)}$

$=\frac{\frac{1}{2}\times \left\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{16}\right\}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(1-{\displaystyle \frac{1}{1024}}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1024-1}{1024}=\frac{1023}{1024}$

নির্ণেয় ধারাটির সপ্তম পদ $\frac{1}{128}$ এবং প্রথম দশটি পদের সমষ্টি $\frac{1023}{1024}$

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো : $\frac{1}{(3x+1)}+\frac{1}{(3x+1{)}^2}+\frac{1}{(3x+1{)}^3}+$---------------

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ,  $a = \frac{1}{3x + 1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{{\displaystyle \frac{1}{(3x+1{)}^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{3x+1}}}=\frac{1}{(3x+1{)}^2} \times (3x+1)=\frac{1}{(3x+1)}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1 হয়

অর্থাৎ, - 1 < r < 1

বা, $- 1 < \frac{1}{3x + 1}< 1$

এখন,

$- 1 < \frac{1}{3x + 1}$

বা, 1 > 3x + 1

বা, 3x + 1 < - 1

বা, 3x < - 1 - 1

বা, 3x < - 2

বা, $x < - \frac{2}{3}$

আবার, $\frac{1}{3x + 1}< 1$

বা, 3x + 1 > - 1

বা, 3x > 1 - 1

বা, 3x > 0

বা, x > 0

$\therefore$ x > 0 অথবা  $x < - \frac{2}{3}$ শর্ত আরোপ করলে উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S= \frac{a}{1-r}$

$=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3x + 1}}}{1 - {\displaystyle \frac{1}{3x + 1}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3x + 1 - 1}}}{{\displaystyle \frac{3x + 1 - 1}{3x + 1}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{3x + 1}}}{{\displaystyle \frac{1}{3x + 1}}}=\frac{1}{3x + 1}\times \frac{3x + 1}{3x}= \frac{1}{3x}$

নির্ণেয় শর্ত: $x < -\frac{2}{3}$ অথবা x > 0 এবং সমন্টি $\frac{1}{3x}$