$m^3+\frac{1}{m^3}=198$ এবং $p^4-27p^2+1=0$ যেখানে, $m, p > 0.$

$x^3-3x{y}^3 + 2y^3$

$=x^3-y^3-3x{y}^2 + 3y^3$

$=(x-y) (x^2+xy+y^2)-3y^2 (x-y)$

$= (x - y) (x^2+xy + y^2 - 3y^2)$

$= (x - y) (x^2+xy - 2y^2)$

দেওয়া আছে, $p^4-27p^2+1=0$ ; যেখানে $p>0$

বা, $p^4+1=27p^2$

বা, $\frac{p^4+1}{p^2}=\frac{27p^2}{p^2}$ [ উভয়পক্ষকে $p^2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{p^4}{p^2}+\frac{1}{p^2}=27$

$\therefore p^2+\frac{1}{p^2 }=27............\left(i\right)$

আবার, (i) নং সমীকরণ হতে পাই, $p^2+\frac{1}{p^2}=27$

বা, ${\left(p^2+\frac{1}{p^2}\right)}^2=(27{)}^2$ [ বর্গ করে]

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2+4.p^2.\frac{1}{p^2}=729$

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2=729-4$

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2=725$

বা, $p^2-\frac{1}{p^2}=\sqrt{725}$

$\therefore p^2-\frac{1}{p^2}=5\sqrt{29}..........\left(ii\right)$

প্রদত্ত রাশি $=p^4-\frac{1}{p^4}$

                  $=(p^2{)}^2-{\left(\frac{1}{p^2}\right)}^2$

                  $=\left(p^2+\frac{1}{p^2}\right) \left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)$

                     $= 27\times 5\sqrt{29}$ [(i) ও (ii) নং হতে মান বসিয়ে]

                      $= 135\sqrt{29}$

নির্ণেয় মান : $135\sqrt{29}$

দেওয়া আছে, $m^3+\frac{1}{m^3}=198;$ যেখানে $m> 0$

বা, $\frac{m^6+1}{m^3 }=198$

বা, $m^6+1=198m^3$

বা, $m^6-198m^3+I=0$

বা, $(m^3{)}^2-2.m^{3}0.99+(99{)}^2-(99{)}^2+1=0$

বা, $(m^3-99{)}^2=9801-1$

বা, $(m^3-99{)}^2=9800$

বা, $m^3-99=\sqrt{9800}$ [বর্গমূল করে]

বা, $m^3-99=70\sqrt{2}$

বা, $m^3=70\sqrt{2}+99$

বা, $m^3=27+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}$

বা, $m^3=(3{)}^3+3\times 3^2\times 2\sqrt{2}+3\times 3\times {\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^3$

$$\begin{gathered} m^3={(3+2\sqrt{2})}^3 \\ \therefore m = 3 + \sqrt{2} \end{gathered}$$   

                                        (প্রমাণিত)