N(1, 2) বিন্দুগামী এবং ও ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু:

P(x₁, y₁) = (1, 2)

Q(x₂, y₂) = (-2, 1)

R(x₃, y₃) = (0, -3)

S(x₄, y₄) = (3, -2)

আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), R(x₃, y₃) এবং S(x₄, y₄) বিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) | \) বর্গ একক

এখন, মান বসিয়ে পাই:

ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} | (1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) + 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 2) - (2 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 3 + (-2) \cdot 1) | \)

= \( \frac{1}{2} | (1 + 6 + 0 + 6) - (-4 + 0 - 9 - 2) | \)

= \( \frac{1}{2} | (13) - (-15) | \)

= \( \frac{1}{2} | 13 + 15 | \)

= \( \frac{1}{2} | 28 | \)

= \( \frac{1}{2} \times 28 \)

= \( 14 \) বর্গ একক

অতএব, PQRS চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল ১৪ বর্গ একক।

উদ্দীপকে প্রদত্ত চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে PR এবং QS রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য প্রথমে উভয় রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর, প্রাপ্ত সমীকরণদ্বয় সমাধান করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক পাওয়া যাবে।

দেওয়া আছে, PR রেখার দুইটি বিন্দু P(1,2) এবং R(0, -3)।

দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো, \(\frac{y - y_1}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_1}{x_1 - x_2}\)

PR রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 2}{2 - (-3)} = \frac{x - 1}{1 - 0}\)

\(\frac{y - 2}{5} = \frac{x - 1}{1}\)

\(y - 2 = 5(x - 1)\)

\(y - 2 = 5x - 5\)

\(5x - y = 3\) ..........(i)

আবার, QS রেখার দুইটি বিন্দু Q(-2, 1) এবং S(3, -2)।

QS রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 1}{1 - (-2)} = \frac{x - (-2)}{-2 - 3}\)

\(\frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{-5}\)

\(-5(y - 1) = 3(x + 2)\)

\(-5y + 5 = 3x + 6\)

\(3x + 5y = -1\) ..........(ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ সমাধান করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

সমীকরণ (i) থেকে পাই, \(y = 5x - 3\)

y এর মান সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,

\(3x + 5(5x - 3) = -1\)

\(3x + 25x - 15 = -1\)

\(28x = 14\)

\(x = \frac{14}{28}\)

\(x = \frac{1}{2}\)

x এর মান \(y = 5x - 3\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(y = 5(\frac{1}{2}) - 3\)

\(y = \frac{5}{2} - \frac{6}{2}\)

\(y = -\frac{1}{2}\)

সুতরাং, PR এবং QS রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)