PQRS চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আমরা জানি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুগামী এবং \( m \) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

এখানে, প্রদত্ত বিন্দু \( N(1, 2) \) যা উদ্দীপকে উল্লেখিত \( P(1, 2) \) বিন্দুর সমান।

অর্থাৎ, \( x_1 = 1 \) এবং \( y_1 = 2 \)।

প্রশ্নে ঢালকে 'ও' দিয়ে নির্দেশ করা হয়েছে, যা একটি অসমাপ্ত বা ভুল শব্দ। সরলরেখার নির্দিষ্ট সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য ঢালের একটি সাংখ্যিক মান প্রয়োজন। যদি ঢালকে \( m \) ধরা হয়, তাহলে সমীকরণটি হবে:

\( y - 2 = m(x - 1) \)

\( y - 2 = mx - m \)

\( mx - y + 2 - m = 0 \)

সুতরাং, প্রদত্ত \( N(1, 2) \) বিন্দুগামী এবং \( m \) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো \( mx - y + (2 - m) = 0 \)। ঢালের সাংখ্যিক মান ছাড়া নির্দিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে PR এবং QS রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য প্রথমে উভয় রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর, প্রাপ্ত সমীকরণদ্বয় সমাধান করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক পাওয়া যাবে।

দেওয়া আছে, PR রেখার দুইটি বিন্দু P(1,2) এবং R(0, -3)।

দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো, \(\frac{y - y_1}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_1}{x_1 - x_2}\)

PR রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 2}{2 - (-3)} = \frac{x - 1}{1 - 0}\)

\(\frac{y - 2}{5} = \frac{x - 1}{1}\)

\(y - 2 = 5(x - 1)\)

\(y - 2 = 5x - 5\)

\(5x - y = 3\) ..........(i)

আবার, QS রেখার দুইটি বিন্দু Q(-2, 1) এবং S(3, -2)।

QS রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 1}{1 - (-2)} = \frac{x - (-2)}{-2 - 3}\)

\(\frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{-5}\)

\(-5(y - 1) = 3(x + 2)\)

\(-5y + 5 = 3x + 6\)

\(3x + 5y = -1\) ..........(ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ সমাধান করে ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

সমীকরণ (i) থেকে পাই, \(y = 5x - 3\)

y এর মান সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,

\(3x + 5(5x - 3) = -1\)

\(3x + 25x - 15 = -1\)

\(28x = 14\)

\(x = \frac{14}{28}\)

\(x = \frac{1}{2}\)

x এর মান \(y = 5x - 3\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(y = 5(\frac{1}{2}) - 3\)

\(y = \frac{5}{2} - \frac{6}{2}\)

\(y = -\frac{1}{2}\)

সুতরাং, PR এবং QS রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)