মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।
অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ:
ধাপ-১: ADB চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠ACB = (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠AOB) [বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২: কিন্তু সরলকোণ ∠AOB = দুই সমকোণ।
∠ACB = (দুই সমকোণ)
∠ACB = এক সমকোণ (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রশিদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB
অঙ্কন: O, A; O, B এবং O, P যোগ করি ।
প্রমাণ:
ধাপ ১. যেহেতু PA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সেহেতু PA OA. [স্পর্শক স্পর্শকবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]
∠PAO = এক সমকোণ।
অনুরূপে ∠PBO = এক সমকোণ
PAO এবং PBO উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
ধাপ ২. এখন, PAO ও PBO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ PO = অতিভুজ PO
এবং OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
ΔΡΑΟ ΔΡΒΟ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]
PA = PB. (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু। P হতে অঙ্কিত PA ও PB স্পর্শক বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O, P এবং A, B যোগ করি। AB স্পর্শ জ্যা। OP, AB কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, OP, AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক।
অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১. যেহেতু OA এবং OB উভয়ই স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সুতরাং ∠PAO = এক সমকোণ
এবং ∠PBO = এক সমকোণ [ PA ও PB যথাক্রমে ও B বিন্দুতে স্পর্শক]
সমকোণী PAO-ও সমকোণী PBO-এর মধ্যে OP=OP [সাধারণ বাহু]
OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
PAO PBO [অতিভূজ-বাহু সৰ্বসমতী উপপাদ্য]
∠POA = ∠POB
ধাপ ২. এখন ΔΟΑΕ ও ΔΟΒΕ-এর মধ্যে
OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OE = OE [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AOE = তঅন্তর্ভুক্ত ∠BOE.
অতএব, △ OAE = △ OBE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
AE = BÉ
এবং ∠AEO = ∠BEO
কিন্তু কোণদ্বয় সন্নিহিত বলে প্রত্যেকে এক সমকোণ।
সুতরাং OE, AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক।
অর্থাৎ OP, স্পর্শ জ্যা AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allদুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকলে, স্পর্শকটিকে সরল সাধারণ স্পর্শক বলে।
চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয়ের একটি সরল সাধারণ স্পর্শক AB।
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকলে স্পর্শকটিকে তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলে।
চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয়ের একটি সাধারণ স্পর্শক AB.I
দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়। এরূপ ক্ষেত্রে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় যদি স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে তাহলে বৃত্ত দুইটি বহিঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয়।
চিত্রে M ও N কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করেছে বলা হয়। এরূপক্ষেত্রে, বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় যদি স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে তাহলে বৃত্ত দুইটি অন্তঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয়।
চিত্রে, MওN কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
সমতলম্ব একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়।
চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ একটি ছেদক।
সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির স্পর্শক বলা হয়।
চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে PQ একটি স্পর্শক।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
