O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুইটি স্পর্শক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।

অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।

প্রমাণ:

ধাপ-১: ADB চাপের উপর দন্ডায়মান  বৃত্তস্থ ∠ACB = $\frac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠AOB) [বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

ধাপ-২: কিন্তু সরলকোণ ∠AOB  = দুই সমকোণ।

$\therefore$ ∠ACB = $\frac{1}{2}$ (দুই সমকোণ)

$\therefore$ ∠ACB = এক সমকোণ (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে  P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রশিদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।

প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB

অঙ্কন: O, A; O, B এবং O, P যোগ করি ।

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু PA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

সেহেতু PA $\perp$ OA. [স্পর্শক স্পর্শকবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]

∠PAO = এক সমকোণ।

অনুরূপে ∠PBO = এক সমকোণ

$△$PAO এবং $△$PBO উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২. এখন, PAO ও PBO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ PO = অতিভুজ PO

এবং OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore$ ΔΡΑΟ $\equiv$ ΔΡΒΟ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore$ PA = PB. (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু। P হতে অঙ্কিত PA ও PB স্পর্শক বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O, P এবং A, B যোগ করি। AB স্পর্শ জ্যা। OP, AB কে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, OP, AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক।

অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু OA এবং OB উভয়ই স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

সুতরাং ∠PAO = এক সমকোণ

এবং ∠PBO = এক সমকোণ [ PA ও PB যথাক্রমে ও B বিন্দুতে স্পর্শক]

সমকোণী $△$PAO-ও সমকোণী $△$PBO-এর মধ্যে OP=OP [সাধারণ বাহু]

OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

$△$PAO $\equiv$ $△$PBO [অতিভূজ-বাহু সৰ্বসমতী উপপাদ্য]

∠POA  = ∠POB

ধাপ ২. এখন ΔΟΑΕ ও ΔΟΒΕ-এর মধ্যে

OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

OE = OE [সাধারণ বাহু]

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AOE = তঅন্তর্ভুক্ত ∠BOE.

অতএব, △ OAE = △ OBE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

AE = BÉ

এবং ∠AEO = ∠BEO

কিন্তু কোণদ্বয় সন্নিহিত বলে প্রত্যেকে এক সমকোণ।

সুতরাং OE, AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক।

অর্থাৎ OP, স্পর্শ জ্যা AB-এর লম্বদ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)