O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে জ্যা AB = x সে. মি., OD $\perp$ AB

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ${\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গএকক

এখানে, ব্যাসার্ধ, r = 10 সে. মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 3.1416 $\times$ (10)² . বর্গ সে. মি.

                         = 314.16 বর্গ সে. মি. (প্রায়)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে জ্যা AB, OD$\perp$AB। প্রমাণ করতে হবে যে, D, AB এর মধ্যবিন্দু।

অঙ্কন: O, A যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. OD$\perp$AB হওয়ায়, $\angle$ODA = $\angle$ODB = এক সমকোণ

অতএব, △ ODA ও △ ODB উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২. এখন, △ ODA ও △ODB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসাধ]

এবং OD = OD  [সাধারণ বাহু]

△ODA $\equiv$ △ ODB [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]

অতএব, AD = BD

অর্থাৎ, D. AB এর মধ্যবিন্দু। (দেখানো হলো)

△ ODB সমকোণী ত্রিভুজে   $O{B}^2 = O{D}^2 + B{D}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে]

এখানে, OB = 10 সে. মি.

OD = $\frac{x}{2}-2$ সে. মি,

$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$ সে. মি, $\frac{x}{2}$ সে.মি.

$O{B}^2=O{D}^2+B{D}^2$

বা, $(10{)}^2={\left(\frac{x}{2}-2\right)}^2+\left(\frac{x}{2}\right)-2^2$

বা, $100=\frac{x^2}{4}-2.\frac{x}{2}.2+4+\frac{x^2}{4}$

বা, $100=2\times \frac{x^2}{4}-2x+4=\frac{x^2}{2}-2x+4=\frac{x^2-4x+8}{2}$

বা, $x^2-4x+8=200$

বা, $x^2-4x+8-200=0$

বা, $x^2-4x-192=0$

বা, $x^2-16x+12x-192=0$

বা, x(x - 16) + 12(x - 16) = 0

বা, (x - 16)(x + 12) = 0

হয়, x - 16 = 0     |      অথবা, x + 12 = 0

$\therefore$ x = 16                   $\therefore$ x = - 12  [এটি গ্রহণযোগ্য নহে]

$\therefore$ x = 16 সে.মি.