P অবস্থান থেকে একটি প্রাইভেট কার 21ms^-2 সমবেগে এবং Q অবস্থান থেকে অপর একটি ট্রাক স্থির অবস্থান হতে 2 m s^-2 ত্বরণে একই দিকে চলছে?

শব্দের যে বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে তীক্ষ্ণ বা মোটা শব্দকে পৃথক করা যায়, তাকে পিচ (Pitch) বলে। এটি শব্দের কম্পাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

যেসব রাশি মৌলিক রাশি থেকে উৎপন্ন হয় বা একাধিক মৌলিক রাশির সমন্বয়ে গঠিত হয়, তাদের লব্ধ রাশি বলে। বল একটি লব্ধ রাশি।

বলকে পরিমাপ করতে ভর (mass), দৈর্ঘ্য (length) এবং সময় (time) – এই তিনটি মৌলিক রাশির প্রয়োজন হয়। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, বল \(F = ma\) (ভর \(\times\) ত্বরণ)। এখানে ভর একটি মৌলিক রাশি, কিন্তু ত্বরণ (acceleration) হলো বেগ পরিবর্তনের হার, যা দৈর্ঘ্য ও সময়ের ওপর নির্ভরশীল একটি লব্ধ রাশি। তাই বল মৌলিক রাশিগুলোর সমন্বয়ে গঠিত হওয়ায় এটি একটি লব্ধ রাশি।

উদ্দীপকে উল্লিখিত ট্রাকটির ক্ষেত্রে, এটি স্থির অবস্থান হতে যাত্রা শুরু করে, সুতরাং এর আদিবেগ \(u = 0 \, \text{m/s}\)। ট্রাকটির ত্বরণ \(a = 2 \, \text{m/s}^2\) দেওয়া আছে। কোনো বস্তুর \(n\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)\]

এখানে, আমাদের 20তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে, তাই \(n = 20\)।

এখন, প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[s_{20} = 0 + \frac{2}{2}(2 \times 20 - 1)\]

\[s_{20} = 1(40 - 1)\]

\[s_{20} = 39 \, \text{m}\]

অতএব, উদ্দীপকের বর্ণনা অনুযায়ী স্থির অবস্থান থেকে \(2 \, \text{m/s}^2\) ত্বরণে চলমান ট্রাকটি তার 20তম সেকেন্ডে 39 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে। এই দূরত্বটি ট্রাকটি 19 সেকেন্ড সময় অতিক্রান্ত হওয়ার পর থেকে 20 সেকেন্ড সময় অতিক্রান্ত হওয়া পর্যন্ত পথ অতিক্রম করে।

উদ্দীপক অনুসারে, প্রাইভেট কারটি P অবস্থান থেকে \(21 \, \text{m/s}\) সমবেগে (এখানে উদ্দীপকের একক `ms^{-2}` একটি টাইপো হিসেবে বিবেচিত, সঠিক একক `ms^{-1}` হবে কারণ 'সমবেগে' বলা হয়েছে) এবং ট্রাকটি Q অবস্থান থেকে স্থির অবস্থা (\(0 \, \text{m/s}\) প্রাথমিক বেগ) থেকে \(2 \, \text{m/s}^2\) ত্বরণে একই দিকে চলছে। P ও Q অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(80 \, \text{m}\)। চলার পথে গাড়ি দুটি কতবার পরস্পরকে অতিক্রম করবে তা নির্ণয় করার জন্য তাদের গতির সমীকরণ ব্যবহার করে তাদের অবস্থান তুলনা করতে হবে।

ধরা যাক, P অবস্থানকে মূলবিন্দু (\(x=0\)) ধরা হলো এবং গতিপথ x-অক্ষ বরাবর। প্রাইভেট কারের জন্য:
প্রাথমিক অবস্থান, \(x_{car,0} = 0 \, \text{m}\)
সমবেগ, \(v_{car} = 21 \, \text{m/s}\)
\(t\) সময়ে প্রাইভেট কারের অবস্থান, \(x_{car}(t) = x_{car,0} + v_{car} t = 0 + 21t = 21t\)
ট্রাকের জন্য:
প্রাথমিক অবস্থান, \(x_{truck,0} = 80 \, \text{m}\) (কারণ ট্রাকটি P থেকে \(80 \, \text{m}\) দূরে Q অবস্থানে আছে)
প্রাথমিক বেগ, \(u_{truck} = 0 \, \text{m/s}\)
ত্বরণ, \(a_{truck} = 2 \, \text{m/s}^2\)
\(t\) সময়ে ট্রাকের অবস্থান, \(x_{truck}(t) = x_{truck,0} + u_{truck} t + \frac{1}{2} a_{truck} t^2 = 80 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = 80 + t^2\)

গাড়ি দুটি যখন পরস্পরকে অতিক্রম করবে, তখন তাদের অবস্থান সমান হবে:
\(x_{car}(t) = x_{truck}(t)\)
\(21t = 80 + t^2\)
\(t^2 - 21t + 80 = 0\)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র ব্যবহার করে \(t\) এর মান নির্ণয় করা যায়:
\(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
এখানে, \(a=1\), \(b=-21\), \(c=80\)
\(t = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}\)
\(t = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 320}}{2}\)
\(t = \frac{21 \pm \sqrt{121}}{2}\)
\(t = \frac{21 \pm 11}{2}\)
দুটি সম্ভাব্য সময় পাওয়া যায়:
\(t_1 = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{s}\)
\(t_2 = \frac{21 + 11}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{s}\)

এই দুটি সময় নির্দেশ করে গাড়ি দুটি পরস্পরকে দুইবার অতিক্রম করবে।
প্রথমবার, \(t_1 = 5 \, \text{s}\) সময়ে: এই সময়ে কারের বেগ \(21 \, \text{m/s}\) এবং ট্রাকের বেগ \(v_{truck}(5) = u_{truck} + a_{truck} t = 0 + 2 \cdot 5 = 10 \, \text{m/s}\)। যেহেতু কারের বেগ ট্রাকের বেগের চেয়ে বেশি (\(21 > 10\)), তাই প্রাইভেট কারটি ট্রাককে প্রথমবার অতিক্রম করবে।
দ্বিতীয়বার, \(t_2 = 16 \, \text{s}\) সময়ে: এই সময়ে কারের বেগ \(21 \, \text{m/s}\) এবং ট্রাকের বেগ \(v_{truck}(16) = u_{truck} + a_{truck} t = 0 + 2 \cdot 16 = 32 \, \text{m/s}\)। যেহেতু ট্রাকের বেগ কারের বেগের চেয়ে বেশি (\(32 > 21\)), তাই ট্রাকটি প্রাইভেট কারকে দ্বিতীয়বার অতিক্রম করবে।
অতএব, চলার পথে প্রাইভেট কার ও ট্রাকটি পরস্পরকে দুইবার অতিক্রম করবে।