P ও Q মাধ্যমে শব্দটি 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য কত হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর ।

উদ্দীপকে দুটি ভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য দেওয়া আছে। একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কম্পনের জন্য P ও Q মাধ্যমে শব্দের অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। শব্দ যখন একটি মাধ্যম থেকে অন্য মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন তার কম্পাঙ্ক (frequency) অপরিবর্তিত থাকে। শব্দের বেগ, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক \(v = f\lambda\) সূত্র ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করা যায়।

দেওয়া আছে,

P মাধ্যমে শব্দের বেগ, \(v_P = 350 \, \text{ms}^{-1}\)

Q মাধ্যমে শব্দের বেগ, \(v_Q = 400 \, \text{ms}^{-1}\)

মাধ্যমদ্বয়ে তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের পার্থক্য, \(\Delta\lambda = \lambda_Q - \lambda_P = 0.4 \, \text{m}\)

যেহেতু \(v_Q > v_P\), তাই \(\lambda_Q\) অবশ্যই \(\lambda_P\) থেকে বড় হবে, কারণ কম্পাঙ্ক \(f\) স্থির।

আমরা জানি,

\(v = f\lambda\)

সুতরাং, P মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_P = \frac{v_P}{f}\)

এবং Q মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_Q = \frac{v_Q}{f}\)

তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য থেকে পাই,

\(\lambda_Q - \lambda_P = 0.4\)

\(\frac{v_Q}{f} - \frac{v_P}{f} = 0.4\)

\(\frac{v_Q - v_P}{f} = 0.4\)

\(f = \frac{v_Q - v_P}{0.4}\)

মান বসিয়ে পাই,

\(f = \frac{400 - 350}{0.4}\)

\(f = \frac{50}{0.4}\)

\(f = 125 \, \text{Hz}\)

এখন, প্রতিটি মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

P মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_P = \frac{v_P}{f} = \frac{350}{125} = 2.8 \, \text{m}\)

Q মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_Q = \frac{v_Q}{f} = \frac{400}{125} = 3.2 \, \text{m}\)

শব্দটি 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করি:

P মাধ্যমে 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(D_P = n \times \lambda_P = 40 \times 2.8 = 112 \, \text{m}\)

Q মাধ্যমে 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(D_Q = n \times \lambda_Q = 40 \times 3.2 = 128 \, \text{m}\)

P ও Q মাধ্যমে অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য হবে:

\(\Delta D = D_Q - D_P = 128 - 112 = 16 \, \text{m}\)

সুতরাং, P ও Q মাধ্যমে শব্দটি 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য হবে 16 মিটার। এই বিশ্লেষণ প্রমাণ করে যে কম্পাঙ্ক স্থির থাকায় ভিন্ন ভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তারতম্যের কারণে একই সংখ্যক কম্পনের জন্য শব্দের অতিক্রান্ত দূরত্ব ভিন্ন হয় এবং এর পার্থক্য গাণিতিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব।