P ও Q মাধ্যমে শব্দের বেগ যথাক্রমে 350ms^-1 এবং 400ms^-1  । মাধ্যমদ্বয়ে তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের পার্থক্য 0.4m 1

আড় তরঙ্গ হলো সেইসব তরঙ্গ যেখানে মাধ্যমের কণাগুলো তরঙ্গের গতির দিকের সাথে লম্বভাবে স্পন্দিত হয়। পানির ঢেউয়ের ক্ষেত্রে, পানির কণাগুলো ঢেউয়ের গতির দিকের সাথে লম্বভাবে অর্থাৎ উপরে ও নিচে ওঠানামা করে, কিন্তু ঢেউটি অনুভূমিকভাবে সামনের দিকে অগ্রসর হয়।

যেহেতু পানির কণাগুলোর স্পন্দন (উপরে-নিচে) তরঙ্গের গতির দিকের (সামনে-পিছনে) সাথে সমকোণে ঘটে, তাই পানির ঢেউকে একটি আড় তরঙ্গ (transverse wave) বলা হয়। এটি আলো বা বেতার তরঙ্গের মতো তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, যেখানে ক্ষেত্রগুলো তরঙ্গের গতির লম্বভাবে স্পন্দিত হয়।

তরঙ্গের বেগ, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক হলো \(v = f\lambda\), যেখানে \(v\) হলো তরঙ্গের বেগ, \(f\) হলো তরঙ্গের কম্পাঙ্ক এবং \(\lambda\) হলো তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য। যখন কোনো তরঙ্গ এক মাধ্যম থেকে অন্য মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন তার কম্পাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়।

উদ্দীপক অনুসারে, P ও Q মাধ্যমে শব্দের বেগ যথাক্রমে \(v_P = 350 \, \text{ms}^{-1}\) এবং \(v_Q = 400 \, \text{ms}^{-1}\)। যেহেতু তরঙ্গ একই, এর কম্পাঙ্ক \(f\) উভয় মাধ্যমে একই থাকবে। সুতরাং আমরা লিখতে পারি: \(f = \frac{v_P}{\lambda_P} = \frac{v_Q}{\lambda_Q}\)। মান বসিয়ে পাই, \(\frac{350}{\lambda_P} = \frac{400}{\lambda_Q}\)। এখান থেকে আমরা \(\lambda_Q\) কে \(\lambda_P\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি: \(350 \lambda_Q = 400 \lambda_P \implies \lambda_Q = \frac{400}{350}\lambda_P = \frac{8}{7}\lambda_P\)।

মাধ্যমদ্বয়ে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য 0.4m দেওয়া আছে। যেহেতু \(v_Q > v_P\), তাই \(\lambda_Q > \lambda_P\)। সুতরাং, \(\lambda_Q - \lambda_P = 0.4\)। এখন, \(\lambda_Q\) এর মান বসিয়ে পাই: \(\frac{8}{7}\lambda_P - \lambda_P = 0.4\)। \(\left(\frac{8}{7} - 1\right)\lambda_P = 0.4\) \(\left(\frac{8-7}{7}\right)\lambda_P = 0.4\) \(\frac{1}{7}\lambda_P = 0.4\) \(\lambda_P = 0.4 \times 7\) \(\lambda_P = 2.8 \, \text{m}\)

উদ্দীপকে দুটি ভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য দেওয়া আছে। একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কম্পনের জন্য P ও Q মাধ্যমে শব্দের অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। শব্দ যখন একটি মাধ্যম থেকে অন্য মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন তার কম্পাঙ্ক (frequency) অপরিবর্তিত থাকে। শব্দের বেগ, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক \(v = f\lambda\) সূত্র ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করা যায়।

দেওয়া আছে,

P মাধ্যমে শব্দের বেগ, \(v_P = 350 \, \text{ms}^{-1}\)

Q মাধ্যমে শব্দের বেগ, \(v_Q = 400 \, \text{ms}^{-1}\)

মাধ্যমদ্বয়ে তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের পার্থক্য, \(\Delta\lambda = \lambda_Q - \lambda_P = 0.4 \, \text{m}\)

যেহেতু \(v_Q > v_P\), তাই \(\lambda_Q\) অবশ্যই \(\lambda_P\) থেকে বড় হবে, কারণ কম্পাঙ্ক \(f\) স্থির।

আমরা জানি,

\(v = f\lambda\)

সুতরাং, P মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_P = \frac{v_P}{f}\)

এবং Q মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_Q = \frac{v_Q}{f}\)

তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পার্থক্য থেকে পাই,

\(\lambda_Q - \lambda_P = 0.4\)

\(\frac{v_Q}{f} - \frac{v_P}{f} = 0.4\)

\(\frac{v_Q - v_P}{f} = 0.4\)

\(f = \frac{v_Q - v_P}{0.4}\)

মান বসিয়ে পাই,

\(f = \frac{400 - 350}{0.4}\)

\(f = \frac{50}{0.4}\)

\(f = 125 \, \text{Hz}\)

এখন, প্রতিটি মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

P মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_P = \frac{v_P}{f} = \frac{350}{125} = 2.8 \, \text{m}\)

Q মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_Q = \frac{v_Q}{f} = \frac{400}{125} = 3.2 \, \text{m}\)

শব্দটি 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করি:

P মাধ্যমে 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(D_P = n \times \lambda_P = 40 \times 2.8 = 112 \, \text{m}\)

Q মাধ্যমে 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(D_Q = n \times \lambda_Q = 40 \times 3.2 = 128 \, \text{m}\)

P ও Q মাধ্যমে অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য হবে:

\(\Delta D = D_Q - D_P = 128 - 112 = 16 \, \text{m}\)

সুতরাং, P ও Q মাধ্যমে শব্দটি 40 বার কম্পনের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য হবে 16 মিটার। এই বিশ্লেষণ প্রমাণ করে যে কম্পাঙ্ক স্থির থাকায় ভিন্ন ভিন্ন মাধ্যমে শব্দের বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তারতম্যের কারণে একই সংখ্যক কম্পনের জন্য শব্দের অতিক্রান্ত দূরত্ব ভিন্ন হয় এবং এর পার্থক্য গাণিতিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব।