$p=2^{2z-1}+3.2^z$ এবং $q ={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{5}\right)}^{-2}-x^2;x>0$

এখানে, $y - 6 \ge 3y + 4$

বা, $y-6-3y \ge 3y+4-3y$ [উভয়পক্ষ হতে 3y বিয়োগ করে]

বা, $-2y- 6 \ge 4$

বা, $- 2y - 6 + 6 \ge 4 + 6$ [উভয়পক্ষে 6 যোগ করে]

বা, $- 2y \ge 10$

বা, $y\le \frac{10}{2}$ [উভয়পক্ষকে -2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ $y \le - 5$

নির্ণেয় সমাধান: $y \le - 5$

এবং সমাধান সেট, $S=\{y\in \mathrm{ℝ} : y\le -5\}$

দেওয়া আছে, $P=2^{{}^{2z-1}}+3.2^z$

এখন,

P = 8

বা, $2^{2z-1}+3.2^z=8$

বা, $2^{2z}.2^{-1}+3.2^z=8$

বা, $\frac{2^{2z}}{2}+3.2^z=8$

বা, $2^{2z}+6.2^z=16$ [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

বা, $(2^z{)}^2+6.2^z-16=0$

বা, $a^2+6a-16=0$ [$2^z=a$ ধরে]

বা, $a^2+8a-2a-16=0$

বা, $a(a + 8) - 2(a + 8) = 0$

বা, $(a + 8)(a - 2) = 0$

হয়, a + 8 = 0

বা, a = - 8

বা, $2^z=-8$ [গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা, a - 2 = 0

বা, a = 2

বা, $2^z=2^1$ [মান বসিয়ে]

∴ z = 1

নির্ণেয় মান z = 1

দেওয়া আছে, $q={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{5}\right)}^{-2}-x^2$

এখানে, q = - 2

বা, ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{5}\right)}^{-2}-x^2=-2$

বা, $x^2-2={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{5}\right)}^{-2}$

বা, $x^2-2={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)}^2$

বা, $x^2-2={\left(\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)}^2-2\sqrt[3]{5}.\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

বা, $x^2-2={\left(\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)}^2-2$

বা, $x^2={\left(\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)}^2$

বা, $x=\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

বা, $x^3={\left(\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)}^3$ [ঘন করে]

বা, $x^3={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)+\sqrt[3]{5}.\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\left(\sqrt[3]{5}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)$

বা, $x^3=5+\frac{1}{5}+3.x$

বা, $x^3-3x=\frac{25+1}{5}$

বা, $5x^3-15x=26$

∴ $5x^3-15x-26=0$ (প্রমাণিত)