এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

এখানে, Δ PQR এ D. QR-এর মধ্যবিন্দু। P ও D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,

$P{Q}^2+P{R}^2 = 2(P{D}^2+ Q{D}^2).$

অঙ্কন: P বিন্দু হতে QR-এর উর PS লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: Δ PQD-এ ∠PDQ স্থূলকোণ এবং PD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DS.

∴ স্থলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

PQ² = PD²+QD² + 2QD.DS .......(1)

আবার, Δ PDR-এ ∠PDR সূক্ষ্মকোণ এবং PD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DS. সূক্ষ্মাকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

PR² = PD²+DR²-2DR.DS .......(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

PQ²-PR² = PD² + QD²+2QD-DS + PD²+DR²-2DR.DS

= 2PD² + QD²+2QD.DS+QD²-2.QD.DS [ $\because$QD = DR]

= 2PD² + 2QD²

∴ PQ² + PR² = 2(PD² + QD²). (প্রমাণিত)

এখানে Δ PQR এ $\angle$ Q = 60°

প্রমাণ করতে হবে যে, $P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-PQ.QR$

অঙ্কন: P হতে QR এর উপর PS লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: Δ PRS-এ $\angle$ PSR = এক সমকোণ

∴ $P{R}^2=P{S}^2+R{S}^2$ ........ (1)

[পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

চিত্র হতে, RS = QR - QS

∴ $R{S}^2=(QR-QS{)}^2$ [বর্গ করে]

∴ $R{S}^2=Q{R}^2+Q{S}^2-2QR.QS$  ………….. (2)

সমীকরণ (1) ও (2) নং হতে পাই,

$P{R}^2=P{S}^2+Q{R}^2+Q{S}^2-2QR.QS$

∴ $P{R}^2=P{S}^2+Q{S}^2+Q{R}^2-2QR.QS$ ………….. (3)

আবার, Δ PQS হতে  $\angle$PSQ = এক সমকোণ

∴ $P{Q}^2=P{S}^2+Q{S}^2$ ………… (4)

(3) ও (4) নং হতে পাই,

$P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-2QR.QS$

বা, $P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-2QR.\frac{QS}{PQ}.PQ$ ………… (5)

এখন, যেহেতু $\angle$Q = 60° এবং $\angle$ PSQ = এক সমকোণ

∴ $\frac{QS}{PQ}=\cos \angle Q = \cos 60°$

∴ $\frac{QS}{PQ}=\frac{1}{2}$

এখন, (5) নং এ $\frac{QS}{PQ}=\frac{1}{2}$বসিয়ে পাই,

$P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-2.QR.\frac{1}{2}.PQ$

∴ $P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-PQ.QR.$ (প্রমাণিত)