সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ২১x ও ২১y এখানে x ও y সহমৌলিক। ২১x ও ২১y এর ল.সা.গু ২১xy ২১xy = ৪৬২১ বা, xy = = ২২১x,y সহমৌলিক হওয়ার x = ১, y = ২২১, এবং x = ১৩, y = ১৭ যেহেতু একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী সুতরাং x = ১৩, y = ১৭ গ্রহণযোগ্য। কারণ ২১x১৩= ২৭৩ সংখ্যাটি শর্তপূরণ করে। অপর সংখ্যা ২১x১৭ = ৩৫৭ নির্ণেয় সংখ্যা ৩৫৭।

ধরি, সংখ্যা দুইটি হলো \(a\) এবং \(b\)।

প্রশ্নানুযায়ী প্রাপ্ত তথ্য:

    
• গ.সা.গু (HCF), \(h = 12\)
    
• সংখ্যা দুইটির অন্তর, \(|a - b| = 60\)
    
• ল.সা.গু (LCM), \(l = 2448\)

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফলের সমান।

অর্থাৎ, \(a \times b = h \times l\)

মান বসিয়ে পাই,

\(a \times b = 12 \times 2448\)

\(a \times b = 29376\) (১ নং সমীকরণ)

যেহেতু সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু \(12\), তাই আমরা সংখ্যা দুটিকে \(12x\) এবং \(12y\) আকারে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে \(x\) এবং \(y\) পরস্পর সহমৌলিক (co-prime) সংখ্যা।

এখন, ১ নং সমীকরণে \(a = 12x\) এবং \(b = 12y\) বসিয়ে পাই,

\((12x) \times (12y) = 29376\)

\(144xy = 29376\)

\(xy = \frac{29376}{144}\)

\(xy = 204\) (২ নং সমীকরণ)

আবার, সংখ্যা দুইটির অন্তর \(60\) দেওয়া আছে।

\(|a - b| = 60\)

\(|12x - 12y| = 60\)

\(12|x - y| = 60\)

\(|x - y| = \frac{60}{12}\)

\(|x - y| = 5\) (৩ নং সমীকরণ)

এখন, আমরা এমন দুইটি সহমৌলিক সংখ্যা \(x\) এবং \(y\) খুঁজব যাদের গুণফল \(204\) এবং পার্থক্য \(5\)।

\(204\) এর উৎপাদক জোড়াগুলো হলো:

    
• \((1, 204)\) - পার্থক্য \(203\)
    
• \((2, 102)\) - সহমৌলিক নয়
    
• \((3, 68)\) - পার্থক্য \(65\)
    
• \((4, 51)\) - পার্থক্য \(47\)
    
• \((6, 34)\) - সহমৌলিক নয়
    
• \((12, 17)\) - পার্থক্য \(17 - 12 = 5\)

সুতরাং, \(x\) এবং \(y\) এর উপযুক্ত জোড়া হলো \((17, 12)\) (যেহেতু \(17\) ও \(12\) সহমৌলিক এবং তাদের পার্থক্য \(5\))।

এখন সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করি:

প্রথম সংখ্যা, \(a = 12x = 12 \times 17 = 204\)

দ্বিতীয় সংখ্যা, \(b = 12y = 12 \times 12 = 144\)

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো \(204\) এবং \(144\)।

যাচাই:

    
• গ.সা.গু \((204, 144) = 12\) (সঠিক)
    
• অন্তর \(204 - 144 = 60\) (সঠিক)
    
• ল.সা.গু \((204, 144) = \frac{204 \times 144}{12} = 204 \times 12 = 2448\) (সঠিক)

দেওয়া আছে, ৬(-৩)($\frac{১}{৩}$)(-০.২৫)

$$\begin{gathered} =১৮\times \frac{১}{৩}\frac{-২৫}{১০০} \\ =-৬\times \frac{-১}{৪} \\ =\frac{৬}{৪} \\ =১.৫ \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{5x+2}{x^2-x-20}+ \frac{2x-1}{x^2-4x-5} \\ \Rightarrow \frac{5x+2}{x^2-5x+4x-20}+\frac{2x-1}{x^2-5x+x-5} \\ \Rightarrow \frac{5x+2}{x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)}+\frac{2x-1}{x\left(x-5\right)+1\left(x-5\right)} \\ \Rightarrow \frac{5x+2}{\left(x-5\right)\left(x+4\right)}+\frac{2x-1}{ \left(x-5\right)\left(x+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{\left(5x+2\right)\left(x+1\right)+\left(2x-1\right)\left(x+4\right)}{\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{5x^2+5x+2x+2+2x^2+8x-x-4}{\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{7x^2+14x-2}{\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x+1\right)} \end{gathered}$$