Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

RUET RUET - 2005 উচ্চতর গণিত 2005

192

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

উত্তরঃ

O কেন্দ্র এবং OA=OD=1 ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। DB লম্ব আঁকি যা OA এর বর্ধিতাংশকে B বিন্দুতে ছেদ করে। এখন OD এর উপর AC লম্ব আঁকি। ধরি, $∠ AOC = x$ রেডিয়ান

চিত্র থেকে $△ AOC < △ OAD < △ OBD$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \times s i n x c o s x < \frac{1}{2} x {(1)}^{2} < \frac{1}{2} \tan x$

$\Rightarrow c o s x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}$

যখন $x \to 0$ তখন $c o s x \to 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 (Proved)$

Almumen

3 years ago

(B)

মান নির্ণয় কর :

\lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - s i n x}{{(\frac{π}{2} - x)}^{2}}

উত্তরঃ

Almumen

3 years ago

192

MCQ: 14.9k

Practice

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

যোগজীকরণ কর : $\int 2^{\ln x} dx$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষাবর্ষঃ ২০১৯-২০২০ - 2019 উচ্চতর গণিত 2019

353

উত্তরঃ

$Let, I = \int 2^{\ln x} dx = 2^{\ln x} \int d x - \int ({\frac{d}{d x}}^{(2^{\ln x})} \int d x) d x$

$= 2^{\ln x} . x - \int 2^{\ln x} . l n 2. \frac{1}{x} . x d x = x 2^{\ln x} - l n 2 \int 2^{\ln x} d x$

$= x 2^{\ln x} - I . l n 2$

$∴ I + I l n 2 = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I (I + l n 2) = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I = \frac{x 2^{\ln x}}{1 + l n 2} + C$

Almumen

3 years ago

353

দেখাও যে $\int_{a}^{b} \frac{f (x) d x}{f (a + b - x) + f (x)} = \frac{b - a}{2}$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

330

উত্তরঃ

Almumen

3 years ago

330

প্রমান কর যে, $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষাবর্ষঃ ২০০৮-২০০৯ - 2008 উচ্চতর গণিত 2008

368

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + . . . .) - 1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . .)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . . .}{1}$

$= 1 ∴ L . H . S = R . H . S (P r o v e d)$

Almumen

3 years ago

368

মান নির্ণয় কর: $\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

349

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{4 s i n^{3} x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{3} \times 4$

$= 4 \times 1 = 4 (A n s)$

Almumen

3 years ago

349

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : $\frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

334

উত্তরঃ

$\frac{d}{d x} (x^{x^{x}}) = \frac{d}{d x} (e^{l n x^{x^{x}}}) = e^{\ln^{x^{x^{x}}}} \frac{d}{d x} (x^{x} \ln x)$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x \frac{d}{d x} (x^{x})\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} \frac{d}{d x} (x l n x)\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} (x \frac{1}{x} l n x)\}$

$= x^{x^{x}} x^{x} \{\frac{1}{x} + l n x (1 + l n x)\} (A n s)$

Almumen

3 years ago

334

যদি $y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $(1 - x^{2}) y_{2} - x y_{1} = 2$

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

413

উত্তরঃ

$y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1} = 2 (\cos^{- 1} x) \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 y$

$∴ y_{1}^{2} (- 2 x) + (1 - x^{2}) 2 y_{1} y_{2} = 4 y_{1}$

$\Rightarrow (1 - x^{2}) y_{2} - {xy}_{1} = 2 (Proved)$

Almumen

3 years ago

413

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Related Question

যোগজীকরণ কর : $\int 2^{\ln x} dx$

দেখাও যে $\int_{a}^{b} \frac{f (x) d x}{f (a + b - x) + f (x)} = \frac{b - a}{2}$

প্রমান কর যে, $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

মান নির্ণয় কর: $\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : $\frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

যদি $y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $(1 - x^{2}) y_{2} - x y_{1} = 2$

Related Question

Related Question

যোগজীকরণ কর : ∫2lnxdx

দেখাও যে ∫abfxdxfa+b-x+fx=b-a2

প্রমান কর যে, limx→0ex-1x=1

মান নির্ণয় কর: limx→03 sinx-sin 3xx3

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : ddxxxx

যদি y=cos-1x2 হয়, তবে প্রমাণ কর যে, 1-x2y2-xy1=2

Related Question

যোগজীকরণ কর : $\int 2^{\ln x} dx$

দেখাও যে $\int_{a}^{b} \frac{f (x) d x}{f (a + b - x) + f (x)} = \frac{b - a}{2}$

প্রমান কর যে, $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

মান নির্ণয় কর: $\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : $\frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

যদি $y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $(1 - x^{2}) y_{2} - x y_{1} = 2$