Two men X and Y started working for a certain company at similar jobs on January 1, 1950. X asked for an initial salary of Rs. 300 with an annual increment of Rs. 30. Y asked for n initial salary of Rs. 200 with a rise of Rs. 15 every six months. Assume that the arrangements remained unaltered till December 31, 1959. Salary is paid on the last day of the month. What is the total amount paid to them as salary during the period?

Created: 3 years ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

JB PLC Janata Senior Officer - 2020 গণিত 2020 সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

876

উত্তরঃ

Initial annual salary of X = 12 $\times$ 300 = 3600 Tk.

Annual increment of X = 12 $\times$ 30 = 360 Tk.

Total salary of X for 10 years will be found using arithmetic progression,

with initial values 3,600 Tk. and difference 360 Tk. for 10 years.

So, here n = 10; a = 3600; d = 360

$∴$ Total salary of X = $\frac{n}{2} {2 a + (n - 1) d} = \frac{10}{2} {(2 \times 3600) + (10 - 1) 360}$

=5{(7200+(9 $\times 360)} = 5 (7200 + 3240) = 5 \times 10440 = 52200 T k .$

Initial half-yearly of Y = 6 $\times$ 200 = 1, 200Tk

and half-yearly salary of Y = 15 $\times$ 6 = 90Tk

Total salary of Y for 10 years or 20 half-yearly period will be found using arithmetic progression

with initial value Tk. 1,200 and difference Tk. 90 for 20 half-year period

So, here n = 20 a = 1, 200 d = 90

$∴$ Total salary of Y = $\frac{n}{2} {2 a + (n - 1) d} = \frac{20}{2} {2 \times 1200) + (20 - 1) 20}$

$= 10 {(2400 + (19 \times 90)} = 10 (2400 + 1710) = 10 \times 4110 = 41100 T k . ∴ T o t a l s a l a r y p a i d t o X a n d Y = 52, 200 + 41, 100 = 93, 300 T k . (A n s w e r)$

PRONAY TIRKI

2 years ago

876

MCQ: 347 CQ: 42

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়

উদাহরণ ৩. প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা (3) নং সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$∴$ প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 1275 ।

উদাহরণ ৪. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 = কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 2 – 1 = 1 এবং শেষ পদ p = 99 ।

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 99

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ a + (n - 1)d = 99

বা, 1 + (n – 1)1 = 99

বা, 1 + n − 1 = 99

$∴$ n = 99

উদাহরণ ৫. 7 + 12 + 17 + . . . ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

উদাহরণ ৬. রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন।

ক) সমস্যাটিকে n সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর।

খ) তিনি 18 তম মাসে কত টাকা এবং প্রথম 18 মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

গ) তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান :

ধারার বিভিন্ন সূত্র

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $S_{n}$ ।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_{n}$

প্রয়োজনীয় সূত্র

Related Question

View All

(ক)

উপর্যুক্ত তথ্যের ভিত্তিতে একটি সমান্তর ধারা তৈরি করুন এবং ২০২৫ সালের জুলাই মাসে গনি সাহেবের মাসিক মূল বেতন কত হবে তা নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

364

(খ)

মুল বেতনের ১০% প্রতিমাসে ভবিষ্যৎ তহবিলে কর্তন করেলে ২০ বছরে তাঁর মোট কত টাকা ভবিষ্যৎ তহবিলে জমা হবে তা নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

532

উত্তরঃ

প্রতি মাসে কর্তন = সেই বছরের মূল বেতন এর 10%

প্রতি বছরে কর্তন= 12 $\times$ সেই বছরের মূল বেতন এর 10%
প্রথম বছরে প্রতি মাসে ভবিষ্যৎ তহবিলে জমা হওয়া অর্থ: $22000 \times 10 % = 2200$ টাকা
দ্বিতীয় বছরে প্রতি মাসে ভবিষ্যৎ তহবিলে জমা হওয়া অর্থ: $23000 \times 10 % = 2300$ টাকা
এখানে, a = 2200
সাধারণ অন্তর, d = 2300-2200 = 100
$∴$ ২০ বছরে মোট জমা হওয়া অর্থ= [ $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$ [আগে মাসের হিসাব ছিল, বছর করাতে ১২ দিয়ে গুণ হয়েছে]
= 76500

Rupkatha

1 year ago

532

(b)

১ থেকে ২৩ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফল কত?

PSC MODMR Office Sohayak গণিত সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

উত্তরঃ

১ + ২ + ৩ + . . . . . . . . . . . . + ২৩ = ?

এখানে, ১ম পদ, a = ১; সাধারণ অন্তর, d = ২ - ১ = ১; এবং n = ২৩

∴ ২৩তম পদের সমষ্টি $= \frac{n}{২} \{২ a (n + ১) d\} = \frac{n}{২} \{(২ \times ১) + (২ ৩ + ১) ১\} = \frac{n}{২} (২ + ২ ২) = \frac{২ ৩}{২} \times ২ ৪ = ২ ৩ \times ১ ২ = ২ ৭ ৬$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(a)

The sum of three numbers in Arithmetic Progression is 30, and the sum of their square 318.Find the numbers.

(Series)

Krishi Bank BKB Officer (Cash) - 2018 গণিত 2018 সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

1.2k

উত্তরঃ

Let, second term = a

Common difference = d

First term will be=a-d

And third term will be = a+d

according to question,

$a - d + a + a + d = 30 \Rightarrow 3 a = 30 \Rightarrow a = \frac{30}{3} ∴ a = 10$

So, second term = 10

First term = (10-d)

and third = (10+d)

According to question ,

${(10 - d)}^{2} + {(10)}^{2} + {(10 + d)}^{2} = 318 \Rightarrow {(10)}^{2} - 2 \times 10 \times d + d^{2} + 100 + {(10)}^{2} + 2 \times 10 \times d + d^{2} = 318 \Rightarrow 100 - 20 d + d^{2} + 100 + 100 + 20 d + d^{2} = 318 \Rightarrow 2 d^{2} + 300 = 318 \Rightarrow 2 d^{2} = 18 ∴ d = \sqrt{9} = 3$

so, 1^st term = 10-3=7; 2^nd term= 10 & 3^rd term = 10+3=13

ans. the number is 7,10,13

Tamanna

2 years ago

1.2k

(c)

Three numbers x, y and z are in A.P. and their sum is 30. Also, the sum of their squares in 380. Find the numbers. (Series)

BB BB AD - 2018 গণিত 2018 সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

উত্তরঃ

এটি সমান্তর ধারার অঙ্ক। এখানে A.P. হলো Arithmatic Progression যার অর্থ সমান্তর ধারা। প্রশ্নটিতে বলা হচ্ছে, একটি সমান্তর ধারার 3টি সংখ্যা x, y এবং z এর সমষ্টি 30 এবং সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি 308 হলে সংখ্যা 3টি কত?

As the numbers are in Arithmatic Progression, their common difference will always be same. Here, we denote common difference by 'd'.

$S o, y - x = z - y \Rightarrow y + y = x + z \Rightarrow 2 y = x + z . . . . . . . . . . . . . . (i)$

Now, according to the first condition,

$x + y + z = 30 \Rightarrow y + x + z = 30 \Rightarrow y + 2 y = 30 \Rightarrow 3 y = 30 \Rightarrow y = \frac{30}{3} = 10 ∴ y = 10$

So, the second number = y = 10

As, common difference is d

∴ First number x = 10-d & Third number z = 10 + d

Now, according to the second condition $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 308$

$\Rightarrow {(10 - d)}^{2} + {(10)}^{2} + {(10 + d)}^{2} = 308 \Rightarrow 100 - 20 d + d^{2} + 100 + 100 + 20 d + d^{2} = 308 \Rightarrow 2 d^{2} + 300 = 308 \Rightarrow 2 d^{2} = 308 - 300 = 8 \Rightarrow d^{2} = \frac{8}{2} = 4 \Rightarrow d = \sqrt{4} = \pm 2$

∴ The common difference will be '+2' Or '-2'

When the common difference d = 2

Then, the first number x = 10-2 = 8; Second number y = 10 & Third number z = 10+2 = 12

Again, when the common difference d = -2

Then, the first number x = 10-(-2)=10+2 = 12

Second number y = 10 & Third number z = 10+ (-2)=10-2=8

So, the numbers of the arithmatic progression may be 8, 10, 12 or 12, 10, 8

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(খ)

2.4 . 6^{2} + 4.6 . 8^{2} + 6.8 . 10^{2} + . . . . . . . .

ধারাটির n পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 গণিত 2023 সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

350

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র