Academy
এসএসসি
উচ্চতর গণিত
প্রমাণ কর যে, P…

△ PQR-এর মধ্যমা PA, QB এবং RC পরস্পরকে বিন্দুতে ছেদ করেছে।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

(গ)

প্রমাণ কর যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

মনে করি, $∆$ PQR এর QR, RP ও PQ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। QR, RP, PQ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা PA. QB ও RC এর দৈর্ঘা যথাক্রমে d, e ও f ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

প্রমাণ: $∆$ PQR এর PA একটি মধ্যমা।

$P Q^{2} + P R^{2} = 2 (P A^{2} + Q A^{2})$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে।]

$c 2 + b 2 = 2 d^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} b^{2} + c^{2} = 2 d^{2} + \frac{a^{2}}{2} 4 d^{2} + a^{2} = 2 (b^{2} + c^{2}) d^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} . . . . . . . . . . . . . (i)$

$c^{2} = \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4} . . . . . . . . . . . (i i) f^{2} = \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4} . . . . . . . . . . . (i i i)$

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$d^{2} + c^{2} + f^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} + \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4} + \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4}$ $d^{2} + c^{2} + f^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + c^{2} + f^{2})$

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = 4 P A^{2} + 4 Q B^{2} + 4 R C^{2}$

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = (2 P A)^{2} + (2 Q B)^{2} + (2 R C)^{2} . . . . . . . . . (i v)$ এখানে, $∆$ PQR এর ভরকেন্দ্র ও মধ্যমাত্রয়কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে

$\frac{O P}{O A} = \frac{2}{1}$

$\frac{O A + O P}{O P} = \frac{1 + 2}{2}$

$\frac{P A}{O P} = \frac{3}{2}$

$2 P A = 3 O P$

অনুরুপভাবে, $2 Q B = 30 Q, 2 R C = 3 O R$

সমীকরণ (iv) নং হতে পাই,

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = (30 P)^{2} + (3 O Q)^{2} + (3 O R)^{2}$

$= 9 O P^{2} + 9 O Q^{2} + 90 R^{2} = 9 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

$P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2}) .$ (প্রমাণিত)

5 months after

MCQ: 7 CQ: 54

Practice

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

Edit

📘 উচ্চতর গণিত – নবম-দশম শ্রেণি | এসএসসি | NCTB অনুমোদিত ২০২৫

আপনি কি খুঁজছেন “উচ্চতর গণিত নবম-দশম শ্রেণি PDF” বা Class 9-10 Higher Math প্রশ্ন–উত্তর ও ব্যাখ্যা?
তাহলে আপনি একদম সঠিক জায়গায় এসেছেন — SATT Academy–তে!

এখানে আপনি পাবেন:

NCTB অনুমোদিত পাঠ্যবইয়ের অধ্যায়ভিত্তিক ব্যাখ্যা
প্রতিটি অধ্যায়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন–উত্তর
ভিডিও টিউটোরিয়াল, লাইভ টেস্ট, PDF/ইমেজ ডাউনলোড – একদম ফ্রি!

✅ এখানে যা পাবেন:

অধ্যায়ভিত্তিক MCQ + সৃজনশীল প্রশ্ন ও নির্ভুল উত্তর
সহজ ভাষায় গাণিতিক ব্যাখ্যা ও উদাহরণ
বহুনির্বাচনী অনুশীলনের জন্য লাইভ টেস্ট
বুকমার্ক, PDF ও ছবি ডাউনলোড সুবিধা
ভিডিও সহ পাঠ ব্যাখ্যা
কমিউনিটি যাচাইকৃত কনটেন্ট

📥 সরকারি (NCTB) PDF ডাউনলোড লিংক:

🔗 উচ্চতর গণিত – নবম-দশম শ্রেণি PDF ডাউনলোড
(লিংকে ক্লিক করে বইটি অনলাইনে পড়া বা ডাউনলোড করা যাবে)

👨‍👩‍👧‍👦 উপকারিতা:

শিক্ষার্থীদের জন্য: বাসায় বসে গাণিতিক অনুশীলন সহজ ও ফলপ্রসূ
শিক্ষকদের জন্য: সুশৃঙ্খল ও পাঠভিত্তিক ক্লাস পরিকল্পনায় সহায়ক
অভিভাবকদের জন্য: সন্তানের গণিত চর্চায় দিকনির্দেশনা দিতে সহায়ক
প্রাইভেট টিউটরদের জন্য: সৃজনশীল প্রশ্ন ও প্রস্তুতি উপকরণ সহজলভ্য

⚙️ কীভাবে ব্যবহার করবেন:

অধ্যায় নির্বাচন করুন
প্রশ্ন ও ব্যাখ্যা পড়ুন
PDF/ছবি ডাউনলোড করুন
লাইভ টেস্টে অংশ নিন
আপনার মতামত বা ব্যাখ্যা যোগ করুন — শেখান ও শিখুন

✨ কেন SATT Academy থেকে পড়বেন?

১০০% ফ্রি
NCTB বই অনুযায়ী সাজানো কনটেন্ট
লাইভ টেস্ট, ভিডিও, ব্যাখ্যাসহ টুলস
মোবাইল ফ্রেন্ডলি ডিজাইন
শিক্ষার্থী, শিক্ষক ও অভিভাবকদের উপযোগী কনটেন্ট

🔍 সার্চ-সহায়ক কীওয়ার্ড:

উচ্চতর গণিত নবম দশম শ্রেণি
Higher Math SSC PDF
Class 9-10 Higher Mathematics NCTB
উচ্চতর গণিত প্রশ্ন উত্তর
SATT Academy উচ্চতর গণিত
SSC Higher Math live test
উচ্চতর গণিত ব্যাখ্যা ভিডিও

🚀 এখনই শুরু করুন!

উচ্চতর গণিত শেখা হোক সহজ, মজার ও ফলপ্রসূ —
SATT Academy নিয়ে এলো ফ্রি কনটেন্ট, ব্যাখ্যা, PDF, ও লাইভ টেস্ট — SSC পরীক্ষার্থীদের জন্য সেরা প্রস্তুতির সঙ্গী।

➕ SATT Academy – গণিত হোক আরামদায়ক ও আনন্দময়!

Related Question

View All

(১)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 5 সে.মি., লম্ব 12 সে.মি. হলে, অতিভুজ = কত?

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

5 months after

(২)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 3 সে.মি., অতিভুজ 5 সে.মি. হলে, লম্ব= ?

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$\sqrt{5^{2}} - 3^{2} = \sqrt{16} = 4 = 4 c m$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

5 months after

(৩)

ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ AB = 12 সে.মি. এবং AC= 13 সে.মি. হলে, BC এর মান কত?

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ . AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$

$B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = (13)^{2} - (12)^{2} = 169 - 144 = 25 B C = \sqrt{25} = 5$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

5 months after

(৪)

একটি রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ চিত্র এঁকে দেখাও।

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

5 months after

(৫)

চিত্রসহ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপের সংজ্ঞা দাও।

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

5 months after

(৬)

$△$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি. হলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

এখানে, $∆$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি.।

PQ এর P বিন্দু থেকে QR রেখার ওপর PT লম্ব আঁকি যা QR কে T বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ QT

আবার,

$Q T = \frac{1}{2} Q R = \frac{1}{2} \times 7 = 3.5$

নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি.।

5 months after

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

(গ) প্রমাণ কর যে, PQ2+QR2+RP2=3(OP2+OQ2+OR2)

লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

📘 উচ্চতর গণিত – নবম-দশম শ্রেণি | এসএসসি | NCTB অনুমোদিত ২০২৫

✅ এখানে যা পাবেন:

📥 সরকারি (NCTB) PDF ডাউনলোড লিংক:

👨‍👩‍👧‍👦 উপকারিতা:

⚙️ কীভাবে ব্যবহার করবেন:

✨ কেন SATT Academy থেকে পড়বেন?

🔍 সার্চ-সহায়ক কীওয়ার্ড:

🚀 এখনই শুরু করুন!

Related Question

Related Question

(গ)

প্রমাণ কর যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$