ভেক্টর (অধ্যায় ২)

১.১ সূচনা

Introduction

বিজ্ঞানের বিভিন্ন বিষয় সুনির্দিষ্টভাবে জানতে হলে কোন বা কোন ধরনের পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পদার্থের যে সব ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি (quantity) বলে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, বেগ, কাজ ইত্যাদি প্রত্যেকে এক একটি রাশি। পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোন রাশিকে ভৌত (physical) রাশি বলে।

কিছু কিছু ভৌত রাশিকে শুধুমাত্র মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়। আবার অনেক ভৌত রাশি রয়েছে যাদেরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ই প্রয়োজন হয়। তাই ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য অনুসারে ভৌত রাশিগুলোকে আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করতে পারি ; যথা—

(ক) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি (Scalar quantity)।

(খ) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বা সদিক রাশি (Vector quantity)।

(ক) স্কেলার রাশি : 

যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে, কিন্তু দিক নেই, তাদেরকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, তাপ, বৈদ্যুতিক বিভব, দ্রুতি, কাজ ইত্যাদি কেলার বা অদিক রাশি। 

(খ) ভেক্টর রাশি : 

যে সব ভৌত রাশির মান এবং দিক দুই-ই আছে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন ইত্যাদি ভেক্টর বা দিক রাশি।

১.২ ভেক্টর রাশির নির্দেশনা

Representation of a vector

 কোন একটি ভেক্টর রাশিকে দুভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে, যথা- (১) অক্ষর দ্বারা এবং (২) সরলরেখা দ্বারা।

১। অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চারভাবে প্রকাশ করা হয়, যথা- 

(ক) কোন অক্ষরের উপর তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখা দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। সাধারণভাবে শুধু অক্ষর দ্বারাও রাশিটির মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ | A | বা A

(খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ । A

(গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $\underline{A}$ এবং মান রূপ | $\underline{A}$ | 

(ঘ) মোটা হরফের অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয়। যেমন A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং এর মান A ভেক্টর রাশি নির্দেশের ক্ষেত্রে  (ক)-এ ব্যবহৃত চিহ্নই শ্রেয়। তাই এই বই-এ আমরা এই পদ্ধতিই ব্যবহার করব।

২। সরলরেখা দ্বারা ভেক্টর রাশি নির্দেশ করতে হলে রাশিটির দিকে বা সমান্তরালে একটি সরলরেখা অংকন করে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে উত্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। এ পদ্ধতিকে জ্যামিতিক উপায়ে ভেক্টরের নির্দেশনাও বলে।

মনে করি, একটি ভেক্টর রাশির মান 5 এবং এর দিক পূর্ব দিক। একে সরলরেখা দ্বারা প্রকাশ করতে হবে। এখন AC একটি সরলরেখা পূর্ব- পশ্চিম দিক বরাবর অংকন করে AC সরলরেখা হতে সুবিধামত দৈর্ঘ্যকে একক ধরে এর 5 গুণ দৈর্ঘ্য AB কেটে নিই এবং AB-এর শেষ প্রান্তে পূর্ব দিকে তীর চিহ্ন যুক্ত করি [চিত্র ১:১]। এই তীর চিহ্নিত সরলরেখাই ভেক্টর রাশিটি নির্দেশ করবে। ভেক্টর রাশি নির্দেশী সরলরেখার তীর চিহ্নিত প্রান্ত B-কে শীর্ষবিন্দু বা অন্ত বিন্দু এবং অপর প্রান্ত A-কে আদিবিন্দু বা মূলবিন্দু বা পাদবিন্দু বলে।

একটি ভেক্টর রাশিকে সামান্তরিক সূত্রের দ্বারা বহুভাবে দুটি ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করা যায়। এই পদ্ধতির নাম ভেক্টর রাশির বিভাজন। সুতরাং একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর রাশির বিভাজন বা বিশ্লেষণ বলে। এই বিভক্ত ভেক্টর রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল ভেক্টর রাশির এক একটি অংশক বা উপাংশ (Component) বলে।

(i) যে কোন দুই উপাংশে বিভাজন :

মনে করি R একটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OB সরলরেখাটি তার মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ১.২২]। OB-এর সাথে দুই পাশে $\alpha$ ও $\beta$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ দুটি দিকে একে দুটি উপাংশে বিভক্ত করতে হবে।

এখন O বিন্দু হতে OB-এর সাথে দুই পাশে $\alpha$ এবং $\beta$ কোণ করে OA এবং OC রেখা দুটি টানি। OB-কে কর্ণ করে OABC সামান্তরিকটি অঙ্কন করি।

সুতরাং সামান্তরিকের সূত্রানুযায়ী OB দ্বারা সূচিত ভেক্টর রাশি $\overrightarrow{R}$ -এর দুটি অংশকের বা উপাংশের মান ও দিক $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ নির্দেশ করবে।

বর্ণনানুসারে OC এবং AB সমান্তরাল এবং OB তাদেরকে যুক্ত করেছে। কাজেই β

এখন ত্রিকোণমিতি ও ত্রিভুজের ধর্মানুসারে $∆$OAB হতে আমরা পাই,

$\frac{OA}{sin \beta }=\frac{AB}{sin \alpha }=\frac{OB}{sin <OAB}$

আবার AB = OC এবং (α+β)

$\frac{OA}{sin \beta }=\frac{AB}{sin \alpha }=\frac{OB}{sin \left[180°-(\alpha +\beta )\right]}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ দ্বারা সূচিত উপাংশ দুটির মান যথাক্রমে P এবং Q-এর সমান ধরে আমরা পাই,

$\frac{P}{sin \beta }=\frac{Q}{sin \alpha }=\frac{R}{sin \left[180°-\left(\alpha +\beta \right)\right]}=\frac{R}{sin (\alpha +\beta )}$ 

$P=\frac{R sin \beta }{sin (\alpha +\beta )}$ 

$\mathrm{Q}=\frac{R sin \mathrm{\alpha }}{sin \left(\alpha +\beta \right)}$ 

সমীকরণ (13) ও (14) R ভেক্টরের উপাংশের সমীকরণ।

(ii) লম্ব উপাংশে বিভাজন :

যদি R ভেক্টরকে সমকোণে বিভাজিত করা হয় অর্থাৎ, P এবং Q উপাংশ দুটি পরস্পর সমকোণী হয় [চিত্র ১.২৩], তবে $(\alpha +\beta )$ = 90°

$$\begin{gathered} \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \left(90°\right)=1 \\ \sin \beta =\sin \left(90° -\alpha \right)=\cos \left(\alpha \right) \\ \frac{P}{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{Q}{\sin \left(\alpha \right)}=R \\ P=R cos \alpha \\ Q=R sin \alpha \end{gathered}$$

P এবং Q উপাংশ দুটিকে মূল ভেক্টর রাশি R-এর নম্বাংশ বলে। P-কে অনুভূমিক উপাংশ (Horizontal components) এবং Q-কে উলম্ব উপাংশ (Tangential components) বলে।

১.৯ একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ

একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ করতে গিয়ে আমরা দুটি বিষয় বিবেচনা করব। একটি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র ও অপরটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র। নিম্নে বিষয় দুটি পৃথকভাবে আলোচিত হল। 

 (ক) দ্বিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : 

ধরা যাক পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX ও OY সরলরেখা দুটি যথাক্রমে X ও Y অক্ষ নির্দেশ করছে [ চিত্র ১.২৪ ]। XY সমতলে X অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে অবস্থিত OP রেখাটি দ্বারা r মানের একটি ভেক্টর রাশি $\overrightarrow{r}$ -এর মান ও দিক নির্দিষ্ট হয়েছে। আরও ধরা যাক P-এর স্থানাঙ্ক (x, y) এবং ধনাত্মক X ও Y অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$।

P হতে X অক্ষের উপর PN লম্ব টানি ।

তা হলে চিত্র অনুসারে ON = x, NP = y এবং OP =r.

$\overrightarrow{ON}=x\widehat{i},\overrightarrow{NP}=y\widehat{j},\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{r}$

এখন, ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP} \\ \overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j} \end{gathered}$$

ভেক্টরের মান

চিত্র ১:২৪ হতে আমরা পাই,

$$\begin{gathered} O{P}^2=O{N}^2+N{P}^2 \\ {r}^2=x^2+y^2 \\ r=\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$

$\overrightarrow{\mathrm{r}}$  বা $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর :

 $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ বরাবর বা $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ -এর সমাস্তরাল একক ভেক্টর,

$\widehat{r} =\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{x\widehat{i}+y\widehat{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(খ)ত্রিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের বেলায় অনুরূপভাবে লেখা যায়,

$\hat{i}$= = $\hat{i}$ x + $\hat{i}$y + $\hat{k}$z. এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x, y, z) |

     প্রমাণ : ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OY ও OZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X, Y ও z অক্ষ নির্দেশ করছে | চিত্র ১২৫ ।। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় মানের একটি ভেক্টর রাশি নির্দেশ করছে। আরও মনে করি P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে  $\widehat{i,}\hat{j},\hat{k}$ | PN রেখাটি হল XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হল OX-এর উপর লম্ব।

তা হলে $\overrightarrow{OP}$ = $\overrightarrow{ON}$ + $\overrightarrow{NP}$

$\overrightarrow{ON}$ = $\overrightarrow{OQ}$ + $\overrightarrow{ON}$

$\overrightarrow{OP}$ = $\overrightarrow{OQ}$ + $\overrightarrow{ON}$ + $\overrightarrow{NP}$

কিন্তু,

     একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ করতে গিয়ে আমরা কেবল ত্রিমাত্রিক আয়তাকার বিস্তারের ভেক্টরের বিভাজন বিবেচনা করব।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোনো অবস্থান ভেক্টরকে নিম্নলিখিত উপায়ে লেখা যায় যা ত্রিমাত্রিক আয়তাকার বিস্তারের ভেক্টরের বিভাজন হিসেবে বিবেচিত হয়।

$\overrightarrow{r}=\hat{i} x +\hat{j} y +\hat{k}z$

  এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x,y,z)

     ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OYOZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X Y Z অক্ষ নির্দেশ করছে।চিত্র ২:২১]। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় r মানের একটি ভেক্টর রাশি $\overrightarrow{r}$ নির্দেশ করছে।

আরও মনে করি $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ ভেক্টরের শীর্ষবিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$। PN রেখাটি হলো XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হলো OX-এর উপর লম্ব।

  চিত্র হতে ভেক্টর যোগের নিয়ম অনুসারে পাই,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP} \\ \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QN} \\ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{NP} \end{gathered}$$

কিন্তু $\overrightarrow{OQ}=x\widehat{i},\overrightarrow{OP}=y\widehat{j},\overrightarrow{OP}=,\overrightarrow{OP}=z\widehat{k}$ 

:- $\overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}+z\widehat{k}$

   এখানে x y ও z হলো যথাক্রমে X, Y ও Z অক্ষ বরাবর$\overrightarrow{r}$   ভেক্টরের উপাংশের মান এবং$\overrightarrow{r}$ হলো ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অবস্থান ভেক্টর।

ভেক্টরের মান

চিত্র ২.২১ হতে, OP² = ON² + NP² এবং ON² = OQ² + QN²

  OP² = OQ² + QN² + NP² বা, r² = x² + y² + z²

:- $\widehat{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{x\widehat{i}+y\widehat{j}+z\widehat{k}}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)}}$ .. (2.17)

     দুটি দিক রাশি বা ভেক্টর রাশির গুণফল সাধারণত দুই প্রকার, যথা—

(১) স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product

(২) ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)

      এই দুটি গুণন বা গুণফল নিম্নে পৃথক পৃথকভাবে আলোচনা করা হল।

স্কেলার গুণন বা ডট গুণন 

সংজ্ঞা :

    দুটি ভেক্টর রাশির কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে যার মান রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের (cosine) গুণফলের সমান। ভেক্টর রাশি দুটির মাঝে (.) চিহ্ন দিয়ে ডট গুণফল প্রকাশ করা হয় এবং পড়তে হয় “প্রথম রাশি ডট দ্বিতীয় রাশি।”

  বা, স্কেনার গুণফল দুটি ভেক্টরের মানের গুণফলের সাথে তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল।

    ব্যাখ্যা ঃ মনে করি $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$  দুটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OA ও OC সরলরেখা রাশি দুটির মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ২.৩০)। এরা পরস্পরের সাথে $\alpha$ কোণে আনত। তাদের স্কেলার বা অদিক গুণফল = $\overrightarrow{P}$. $\overrightarrow{Q}$  দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং পড়তে হয় $\overrightarrow{P}$  ডট $\overrightarrow{Q}$  কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই,

   $\overrightarrow{P}$ .  $\overrightarrow{Q}$ = l $\overrightarrow{P}$ l $\overrightarrow{Q}$ l cos α

বা, $\overrightarrow{P}$  $\overrightarrow{Q}$ = PQ cos α .. (33)

   এখানে 0 <α <π 

সমীকরণ (33) হতে দেখা যায়, গুণফল একটি স্কেলার রাশি।

বিশেষ দ্রষ্টব্য :

(ক) যদি α = 0° হয়, তবে $\overrightarrow{P}$.$\overrightarrow{Q}$  - PQ cos 0° = PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হবে।

(খ) যদি α = 90° হয়, তবে  $\overrightarrow{P}$.$\overrightarrow{Q}$ =PQ cos 90° = 0 । এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

(গ) যদি α= 180° হয়, তবে  $\overrightarrow{P}$.$\overrightarrow{Q}$= PQ cos 180° = - PQ। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল এবং বিপরীতমুখী হবে।

স্কেলার গুণনের উদাহরণ : 

   বল  $\overrightarrow{F}$ এবং সরণ  $\overrightarrow{s}$ উভয়েই ভেক্টর রাশি। কিন্তু এদের স্কেলার গুণফল কাজ (W) একটি স্কেলার রাশি অর্থাৎ

     W = .$\overrightarrow{F}$.$\overrightarrow{s}$ = Fs cos α.. (34)

      স্থিতিশক্তি, বৈদ্যুতিক বিভব ইত্যাদিও ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফলের উদাহরণ।

ভেক্টর বা ক্রস গুণন Cross product of vectors

    সংজ্ঞা : দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয়, তবে ঐ গুণনকে ভেক্টর গুণন বা ফ্রস গুণন বলে। এই ভেক্টর গুণফলের মান ভেক্টর রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক ডানহাতি স্কু নিয়মে নির্ণয় করা হয়।

  ব্যাখ্যা : মনে করি .$\overrightarrow{P}$ ও .$\overrightarrow{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি। এরা পরস্পরের সাথে α কোণে O বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

অতএব এদের ভেক্টর গুণফল বা দিক গুণফল—

$\overrightarrow{R}$ = $\overrightarrow{P}$ × $\overrightarrow{Q}$ = 

বা, $\overrightarrow{R}$ = $\overrightarrow{P}$ × $\overrightarrow{Q}$

=$\hat{\eta }PQ \sin \alpha 0\le \alpha \le \pi$

   এখানে $\hat{\eta }$ (ইটা) একটি একক ভেক্টর $\overrightarrow{R}$ এর দিক নির্দেশ করে [ চিত্র ২.৩১ ও ২.৩২ ]।

     ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম : ভেক্টর দুটি যে সমতলে অবস্থিত সেই সমতলের উপর লম্বভাবে একটি ডান হাতি স্কুকে রেখে প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে স্কুটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেই দিকই হবে $\overrightarrow{R}$ তথা $\hat{\eta }$ এর দিক।

  উপরোক্ত নিয়ম অনুসারে $\overrightarrow{P}$ × $\overrightarrow{Q}$ এর অভিমুখ হবে উপরের দিকে। চিত্র ১-৩৩] এবং $\overrightarrow{Q}$ x $\overrightarrow{P}$ এর অভিমুখ হবে নিচের দিকে [চিত্র  ২.৩৪] অর্থাৎ প্রথম ক্ষেত্রে ডান হাতি স্কুর দিক হবে ঘড়ির কাটার বিপরীতমুখী (Anti- clockwise) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) । Anti-clockwise direction positive (ধনাত্মক) ধরা হয় এবং clockwise direction-কে Negative (ঋণাত্মক) ধরা হয়। 

 ভেক্টরের অন্তরীকরণ বা ব্যবকলন (Differentiation of Vector) 

     একটি ভেক্টর রাশি যে ধ্রুবক হবে এমন কোনো কথা নেই। একটি ভেক্টর রাশি অন্য স্কেলার রাশির উপর নির্ভর করতে পারে। যেমন গতিশীল বস্তুর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{r}$সময় t এর উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{r}$ হচ্ছে সময় t এর অপেক্ষক। তেমনিভাবে সুষম ত্বরণে গতিশীল।