একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা যাবে?

বিস্তারিত সমাধান:

একটি বর্গক্ষেত্র (Square) আঁকতে হলে শুধু একটি কর্ণের (diagonal) দৈর্ঘ্য জানাই যথেষ্ট। এর কারণ হলো, বর্গক্ষেত্রের কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটিকে অনন্য করে তোলে:

    
• বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
    
• এর প্রতিটি কোণ ৯০ ডিগ্রি (সমকোণ)।
    
• বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলো সমান দৈর্ঘ্যের হয় এবং তারা পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

যদি একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তাহলে আমরা জানি যে এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, কর্ণের দৈর্ঘ্য থেকে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা সম্ভব। ধরা যাক, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য `a` এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য `d`। তাহলে, \( a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = d^2 \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}} \)। একবার বাহুর দৈর্ঘ্য জানা গেলে, বর্গক্ষেত্রটি সহজেই আঁকা যায়।

অন্যদিকে, অন্যান্য বিকল্পগুলোর ক্ষেত্রে একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে সেটি আঁকা সম্ভব হয় না:

    
• রম্বস (Rhombus): একটি রম্বসের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলেও এর কোণগুলো পরিবর্তনশীল। একটি কর্ণ জানা থাকলে রম্বসটির নির্দিষ্ট আকৃতি ও কোণ নির্ধারণ করা যায় না। রম্বস আঁকতে হলে একটি কর্ণ এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অথবা উভয় কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা প্রয়োজন।
    
• আয়তক্ষেত্র (Rectangle): একটি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ ৯০ ডিগ্রি হলেও এর সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্যগুলো ভিন্ন হতে পারে। একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত নির্ধারিত হয় না, তাই একটি নির্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র আঁকা সম্ভব হয় না। আয়তক্ষেত্র আঁকতে হলে একটি কর্ণ এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অথবা দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই জানা প্রয়োজন।
    
• সামান্তরিক (Parallelogram): একটি সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হয়, কিন্তু এর কোণ এবং বাহুর দৈর্ঘ্য পরিবর্তনশীল। শুধু একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সামান্তরিক আঁকা সম্ভব নয়, কারণ এর আকৃতি নির্দিষ্ট হয় না। সামান্তরিক আঁকতে হলে দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ অথবা দুটি কর্ণ ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা প্রয়োজন।