একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় 10 একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয়। কোনো বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদকগুলো নির্ণয় করার পর রাশিটিকে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিগুলো এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট (বহুপদী) হতে পারে। সেজন্য উক্ত রাশির উৎপাদকগুলোও এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে। এখানে উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল আলোচনা করা হবে।

সাধারণ উৎপাদক : কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা বের করে নিতে হয়। যেমন :

উদাহরণ ১৮. $3a^{2}b+6a{b}^2+12a^2{b}^2=3ab(a+2b+4ab)$

উদাহরণ ১৯.  $2ab(x-y)+2bc(x-y)+3ca (x–3) = (x-y) (2ab+2bc+ca)$

পূর্ণবর্গ : একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

উদাহরণ ২০. $4x^2+12x+9$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $4x^2+12x+9={\left(2x\right)}^2+ 2\times 2\times 3 +{\left(3\right)}^2$

$={(2x+3)}^2=(2x+3)(2x+3)$

উদাহরণ ২১. $9x^2–30xy+25y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $9x^2–30xy+25y^2$

$={\left(3x\right)}^2–2\times 3x\times 5y+{\left(5y\right)}^2$

$={(3x—5y)}^2=(3x—5y)(3x–5y)$

দুইটি বর্গের অন্তর : একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং $a^2–b^2=(a+b)(a–b)$ সূত্র প্রয়োগ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

উদাহরণ ২২. $a^2–1+2b–b^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $a^2-1+2b–b^2=a^2–(b^2–2b+1)$

$=a^2–{(b-1)}^2=a+(b-1)a–(b-1)$

$=(a+b-1)( a-b+1)$

উদাহরণ ২৩. $a^4+ 64b^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $a^4+64b^4={\left(a^2\right)}^2+{\left(8b^2\right)}^2$

$={\left(a^2\right)}^2+2\times a^2\times 8b^2+{\left(8b^2\right)}^2–16a^2{b}^2$

$={(a^2+8b^2)}^2–{\left(4ab\right)}^2$

$=(a^2+8b^2+4ab)(a^2+8b^2—4ab)$

$=(a^2+4ab+8b^2)(a^2—4ab+8b^2)$

সরল মধ্যপদ বিভক্তিকরণ : $x^2+(a+b)x+ab =(x+a)(x+b)$সূত্রটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়। এ পদ্ধতিতে $x^2+px+q$ আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি সংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab = q হয়। এজন্য q এর দুইটি সচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয়। q>0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত হবে এবং q<0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে। উল্লেখ্য p এবং q পূর্ণসংখ্যা না ও হতে পারে।

উদাহরণ ২৪. $x^2+12x+35$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $x^2+12x+35=x^2+(5+7)x+5\times 7(x+5) (x+7)$

উদাহরণ ২৫. $x^2+x–20$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $x^2+x-20 = x^2+(5–4)x+\left(5\right)(-4) = (x+5) (x–4)$

যৌগিক মধ্যপদ বিশ্লেষণ : $a{x}^2+bc+c$ আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে $a{c}^2+bx+c=(rx+p) (sx+q)$ হবে যদি $a{x}^2+bx+c=rs{x}^2+(rq+sp)x+pq$ হয়। অর্থাৎ, a = rs, b = rq + sp এবং c = pg হয়। সুতরাং, ac = rspq = (rq) (sp) এবং b = rq + sp l অতএব, $a{x}^2+b+c$ আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac, অর্থাৎ, $x^2$ এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয়।

উদাহরণ ২৬. $3x^2–x–14$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $3x^2–x-14= 3x^2–7x+6x–14$

$=x(3x-7)+2(3x-7)= (3x-7)(x+2)$

ঘন আকার : একটি রাশিকে পূর্ণঘন আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ২৭. $8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$

$=(2x{)}^3+3\times (2x{)}^2\times 3y+3\times 2x\times (3y{)}^2+(3y{)}^3$

$=(2x+3y{)}^3=(2x+3y\left)\right(2x+3y\left)\right(2x+3y)$

দুইটি ঘন এর যোগফল বা বিয়োগফলের সূত্র দিয়ে : $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ এবং $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ সূত্র দুইটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ২৮. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : ক) $8a^3+27b^3$ খ) $a^6-64$

সমাধান :

ক) $8a^3+27b^3=(2a{)}^3+(3b{)}^3$

$=(2a+3b)\left\{\right(2a{)}^2-2a\times 3b+\left(3b{)}^2\right\}$

$=(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)$

খ) $a^6-64=(a^2{)}^3-(4{)}^3=(a^2-4)\left\{\right(a^2{)}^2+a{\times }^{2}4+\left(4{)}^2\right\}$

কিন্তু$=(a^2-4)(a^4+4a^2+16)$

এবং $a^4+4a^2+16=(a^2{)}^2+(4{)}^2+4a^2$

$=(a^2+4{)}^2-2(a^2\left)\right(4)+4a^2$

$=(a^2+4{)}^2-4a^2$

$=(a^2+4{)}^2-(2a{)}^2$

$=(a^2+4+2a)(a^2+4-2a)$

$=(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)$

$\therefore a^6-64=(a+2)(a-2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)$

বিকল্প নিয়ম : $a^6-64=(a^3{)}^2-8^2$

$=(a^3+8)(a^3-8)$

$=(a^3+2^3)(a^3-2^3)$

$=(a+2)(a^2-2a+4)(a-2)(a^2+2a+4)$

$=(a+2)(a-2)(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)$

ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদক : ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদকগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়। যেমন, $a^3+\frac{1}{27}=a^3+\frac{1}{3^3}=\left(a+\frac{1}{3}\right)\left(a^2-\frac{a}{3}+\frac{1}{9}\right)$

আবার, $a^3+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}(27a^3+1)=\frac{1}{27} (3a{)}^3+(1{)}^3 =\frac{1}{27}(3a+1)(9a^2-3a+1)$

দ্বিতীয় সমাধানে চলক-সংবলিত উৎপাদকগুলোর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা কিন্তু সমাধান দুইটি অভিন্ন।

$\frac{1}{27}(3a+1)(9a^2-3a+1)=\frac{1}{3}(3a+1)\times \frac{1}{9}(9a^2-3a+1)$

$=\left(a+\frac{1}{3}\right)\left(a^2-\frac{a}{3}+\frac{1}{9}\right)$

উদাহরণ ২৯. $x^3+6x^{2}y+11x{y}^2+6y^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষ্ণ কর।

সমাধান : $x^3+6x^{2}y+11x{y}^2+6y^3$

$=\{x^3+3x^2.2y+3.x.(2y{)}^2+\left(2y{)}^3\right\}-x{y}^2-2y^3$

$=(x+2y{)}^3-y^2(x+2y)=(x+2y\left)\right\{(x+2y{)}^2-y^2\}$

$=(x+2y)(x+2y+y)(x+2y-y)$

$=(x+2y)(x+3y)(x+y)=(x+y)(x+2y)(x+3y)$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

নিচের উদাহরণটিতে $6x^2–7x+5$ কে $x-1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ও ভাগশেষ কত?

এখানে, ভাজক $x-1,$ ভাজ্য $6x^2-7x+5,$ ভাগফল $6x–1$ এবং ভাগশেষ 4 ।

আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক x ভাগফল + ভাগশেষ

এখন যদি আমরা ভাজ্যকে f(x), ভাগফলকে h(2), ভাগশেষকে । ও ভাজককে (x – a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,

f(x) = (x – a) . h(a) + r, এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।

উভয়পক্ষে x = a বসিয়ে পাই,

f(a) = (a - a) . h(a) + r = 0. h(a) + r = r

সুতরাং, r = f(a)

অতএব, f(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)। এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী f(x) কে (x – a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। উপরের উদাহরণে a = 1 হলে $f\left(x\right) = 6x^2-7x+51$

$\therefore$ f(1) = 6 - 7 + 5 = 4 যা ভাগশেষের সমান। ভাজক বহুপদী (x – a) এর মাত্রা 1, ভাজক যদি ভাজ্যের উৎপাদক হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে শূন্য। আর যদি উৎপাদক না হয়, তাহলে ভাগশেষ থাকবে এবং তা হবে অশূন্য কোনো সংখ্যা। তবে সাধারণভাবে বলতে গেলে ভাগফল ভাজকের থেকে কম মাত্রার একটি বহুপদী হবে।

অনুসিদ্ধান্ত ১১. (x – a), f(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি f(a) = 0 হয়।

প্রমাণ : ধরি, f(a) 0। অতএব, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, f(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ, (x – a), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে।

বিপরীতক্রমে, ধরি, (x – a), f(x) এর একটি উৎপাদক।

অতএব, f(x) = (x – a) . h(x), যেখানে h(x) বহুপদী।

উভয়পক্ষে x = a বসিয়ে পাই,

f(a) = (a – a) . h(a) = 0

$\therefore$ f(a) = 0

সুতরাং, কোনো বহুপদী f(x), (x – a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি f(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) নামে পরিচিত।

প্রতিজ্ঞা ১২. যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে (a + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f \left(-\frac{b}{a}\right)$

প্রমাণ : ভাজক ax + b, (a ≠ 0) এর মাত্রা 1 ।

সুতরাং আমরা লিখতে পারি, $f\left(x\right)=(ax+b).h\left(x\right)+r=a\left(x+\frac{b}{a}\right).h\left(x\right)+r$

$\therefore f\left(x\right) = \left(x+\frac{b}{a}\right).a.h\left(x\right)+r$

দেখা যাচ্ছে যে, f(x) কে $\left(x+\frac{b}{a}\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয়, a. h(x) এবং ভাগশেষ হয় r ।

এখানে, ভাজক $=x-\left(-\frac{b}{a}\right)$

সুতরাং ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $r=f\left(-\frac{b}{a}\right)$

অতএব, f(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $\left(-\frac{b}{a}\right)$

অনুসিদ্ধান্ত ১৩. ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী f(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $f\left(-\frac{b}{a}\right)=0$ হয়।

প্রমাণ : $a\ne 0, ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right), f\left(x\right)$ এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $\left(x+\frac{b}{a}\right)=x-\left(-\frac{b}{a}\right), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হয়। অর্থাৎ, যদি এবং কেবল যদি $f\left(-\frac{b}{a}\right)=0$ হয়। ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয়ের এই পদ্ধতিকে শূন্যায়ন পদ্ধতি (Vanishing method) বলে।

উদাহরণ ৩০. $x^3-x–6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, $f\left(x\right)=x^3-x–6$ একটি বহুপদী। এর ধ্রুবপদ – 6 এর উৎপাদকগুলো হচ্ছে ±1, ±2, ±3, ±6 ।

এখন, x = 1, –1 বসিয়ে দেখি, f(x) এর মান শূন্য হয় না।

কিন্তু x = 2 বসিয়ে দেখি, f(x) এর মান শূন্য হয়।

অর্থাৎ, $f\left(2\right)=2^3–2–6=8-2-6=0$ ।

সুতরাং, x – 2, f(x) বহুপদীটির একটি উৎপাদক ।

$\therefore f\left(x\right) =x^3-x–6$

$=x^3–2x^2+2x^2-4x+3x-6$

$=x^2(x–2)+2x(x–2)+3(x–2)$

$=(x-2)(x^2+2x+3)$

উদাহরণ ৩১. $x^3-3x{y}^2+2y^2$ এবং $x^3-3x{y}^2+2y^3$ এবং $x^2+xy-2y^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, æ কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।

প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে

ধরি, $f\left(x\right)= x^3–3x{y}^2+2y^3$

তাহলে, $f\left(y\right)=y^3-3y.y^2+2y^3=3y^3-3y^3=0$

$\therefore$ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, $x^3–3x{y}^2+2y^3$

$=x^3-x^{2}y+x^{2}y-x{y}^2-2x{y}^2+2y^3$

$=x^2(x-y)+xy(x-y)-2y^2(x-y)=(x-y) (x^2+xy-2y^2)$

আবার ধরি, $g\left(x\right)=x^2+xy– 2y^2$

$\therefore g\left(y\right)=y^2+y^2-2y^2=0$

$\therefore (x-y) g\left(x\right)$

$\therefore g\left(x\right)=x^2+xy-2y^2$

$=x^2-xy+2xy-2y^2$

$=x(x-y)+2y(x-y)$

$=(x-y)(x+2y)$

$\therefore x^3-3x{y}^2+2y^3=(x-y{)}^2(x+2y)$

উদাহরণ ৩২. $54x^4+27x^{3}a-16x-8a$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : ধরি, $f\left(x\right)=54x^4+27x^{3}a-16x-8a$

তাহলে, $f\left(-\frac{1}{2}a\right)=54{\left(-\frac{1}{2}a\right)}^4+27a{\left(-\frac{1}{2}a\right)}^3-16\left(-\frac{1}{2}a\right)-8a$

$=\frac{27}{8}{a}^4-\frac{27}{8}{a}^4+8a-8a=0$

$\therefore x - (-\frac{1}{2}a) = x+\frac{a}{2} = \frac{1}{2}(2x+a),$ f(x) এর একটি উৎপাদক

অর্থাৎ, (2x + a) f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, $54x^4+27x^{3}a-16x-8a$

$=27x^3(2x+a)-8(2x+a)$

$=(2x+a)(27x^3-8)$

$=(2x+a)\left\{\right(3x{)}^3-\left(2{)}^3\right\}$

$=(2x+a)(3x-2)(9x^2+6x+4)$

উদাহরণ ৩৩. $g\left(a\right)=a^3+a^2+10a-8, f\left(a\right)=a^3-9+(a+1{)}^3$ ।

ক) g(a) কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় কর।

খ) f(a) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : ক) দেওয়া আছে, $g\left(a\right)=a^3+a^2+10a-8$

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে g(a) কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে g(2) ।

$\therefore g\left(2\right)=2^3+2^2+10.2-8=8+4+20-8=32-8=24$

$\therefore g\left(2\right) = 24$

নির্ণেয় ভাগশেষ 24

খ) $f\left(a\right)=a^3–9+{(a+1)}^3$

f(a) একটি বহুপদী, a = 1 বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।

ফলে (a – 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

$\therefore f\left(a\right)=a^3–9+a^3+3a^2+3a+1=2a^3+3a^2+3a-8$

$=2a^3-2a^2+5a^2-5a+8a-8$

$=2a^2(a-1)+5a(a-1)+8(a-1)$

$=(a-1)(2a^2+5a+8)$

$\therefore a^3–9+{(a+1)}^3=(a–1) (2a^2+5a+8)$