একটি সৈন্যদলকে ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায় ।আবার তাদের বর্গাকারে সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল ?

এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আমাদের এমন একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা একইসাথে ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

1. ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) নির্ণয়:
   যেহেতু সৈন্যদলকে ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়, তাই সৈন্য সংখ্যা অবশ্যই এই তিনটি সংখ্যার ল.সা.গু এর গুণিতক হবে।

   • \(৮ = ২ \times ২ \times ২ = ২^৩\)
   • \(১০ = ২ \times ৫\)
   • \(১২ = ২ \times ২ \times ৩ = ২^২ \times ৩\)

   সুতরাং, ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু হলো, উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতগুলো নিয়ে গুণ করে:
   ল.সা.গু \( = ২^৩ \times ৩^১ \times ৫^১ = ৮ \times ৩ \times ৫ = ১২০\)
   এর অর্থ হলো, সৈন্য সংখ্যা অবশ্যই ১২০ এর গুণিতক হবে।

2. পূর্ণবর্গ সংখ্যার শর্ত প্রয়োগ:
   প্রশ্নমতে, সৈন্যদলকে বর্গাকারেও সাজানো যায়, যার অর্থ মোট সৈন্য সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

   আমরা ল.সা.গু পেয়েছি ১২০। এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হলো: \(১২০ = ২^৩ \times ৩^১ \times ৫^১\)
   একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় হতে হবে।

   এখানে, ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ১ (বিজোড়), এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
   এই ঘাতগুলোকে জোড় করার জন্য, আমাদের \(১২০\) কে এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে যেন প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হয়।

   • ২ এর ঘাত ৩ কে জোড় (যেমন ৪) করতে \(২^১\) দিয়ে গুণ করতে হবে।
   • ৩ এর ঘাত ১ কে জোড় (যেমন ২) করতে \(৩^১\) দিয়ে গুণ করতে হবে।
   • ৫ এর ঘাত ১ কে জোড় (যেমন ২) করতে \(৫^1\) দিয়ে গুণ করতে হবে।

   সুতরাং, ১২০ কে গুণ করতে হবে এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো \(২ \times ৩ \times ৫ = ৩০\)।

3. সর্বমোট সৈন্য সংখ্যা নির্ণয়:
   এখন, ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা যা ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য, তা হবে ল.সা.গু এবং \(৩০\) এর গুণফল:

   সৈন্য সংখ্যা \( = ১২০ \times ৩০ = ৩৬০০\)
   আমরা দেখতে পাচ্ছি, \(৩৬০০ = ৬০ \times ৬০ = ৬০^২\), যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, ঐ দলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন সৈন্য ছিল।

বিকল্পভাবে, আপনি প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখতে পারেন:

1. সংখ্যাটি ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
2. সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ হতে হবে।

• ৩৬০০ জন সৈন্য:
  • ৮ দ্বারা বিভাজ্য: \(৩৬০০ \div ৮ = ৪৫০\) (হ্যাঁ)
  • ১০ দ্বারা বিভাজ্য: \(৩৬০০ \div ১০ = ৩৬০\) (হ্যাঁ)
  • ১২ দ্বারা বিভাজ্য: \(৩৬০০ \div ১২ = ৩০০\) (হ্যাঁ)
  • পূর্ণবর্গ: \(\sqrt{৩৬০০} = ৬০\) (হ্যাঁ)
  যেহেতু ৩৬০০ সব শর্ত পূরণ করে এবং এটি অপশনগুলোর মধ্যে সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম যা শর্ত পূরণ করে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
• অন্যান্য অপশনসমূহ:
  • ৩৫০০: ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু (১২০) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এছাড়াও, এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
  • ৩৪০০: ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু (১২০) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এছাড়াও, এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
  • ৩৩০০: ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু (১২০) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এছাড়াও, এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩৬০০ জন সৈন্য।