কোন স্কুলে 120 জন ছাত্রের মধ্যে 75 জন বাংলা ভাষায় এবং 60 জন ইংরেজী ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন ছাত্র উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

জটিল সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম নিচে দেওয়া হলো:

১. যোগের ধর্ম

• সংযোজন ধর্ম: \( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করলে যে কোনো ক্রমেই যোগফল একই থাকে।
• সমিতি ধর্ম: \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \) অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা যোগের ক্রম বদলালেও যোগফল অপরিবর্তিত থাকে।

২. বিয়োগের ধর্ম

• বিয়োগের ক্রম: বিয়োগের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তন করলে ভিন্ন ফলাফল হতে পারে। যেমন, \( z_1 - z_2 \neq z_2 - z_1 \)।

৩. গুণনের ধর্ম

• সংযোজন ধর্ম: \( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা গুণ করলে যে কোনো ক্রমেই গুণফল একই থাকে।
• সমিতি ধর্ম: \( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \) অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা গুণের ক্রম বদলালেও গুণফল অপরিবর্তিত থাকে।
• বন্টন ধর্ম: \( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \) অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যা অন্য দুটি সংখ্যার যোগফলের সঙ্গে গুণ করলে, প্রথম সংখ্যা পৃথকভাবে যোগের প্রতিটি অংশের সাথে গুণন হয়।

৪. কনজুগেটের ধর্ম

• যোগের কনজুগেট: \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের কনজুগেট নেওয়া হলে প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের যোগ হয়।
• গুণের কনজুগেট: \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের কনজুগেট হলো প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের গুণফল।

৫. মডুলাসের ধর্ম

• যোগের মডুলাস: \( |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের মডুলাস পৃথক মডুলাসের যোগের চেয়ে বড় বা সমান।
• গুণের মডুলাস: \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস পৃথক মডুলাসের গুণফলের সমান।
• ভাগের মডুলাস: \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) (যদি \( z_2 \neq 0 \))।

৬. কনজুগেট ও মডুলাসের সম্পর্ক

একটি জটিল সংখ্যা \( z = a + bi \) এর কনজুগেট \( \overline{z} = a - bi \)। তাদের মডুলাস একই হবে: \( |z| = |\overline{z}| \)। এছাড়া \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \)।

৭. উল্ট সংখ্যা

জটিল সংখ্যার উল্ট সংখ্যা (Reciprocal) পেতে হলে কনজুগেট ব্যবহার করা হয়। \( z = a + bi \) এর উল্ট সংখ্যা \( \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \)।

জটিল সংখ্যার এই ধর্মগুলো জটিল সংখ্যা বিশ্লেষণে বিশেষভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ইলেকট্রনিক্স, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং অন্যান্য গণিতের ক্ষেত্রগুলোতে গুরুত্বপূর্ণ।