দুইটি সমমানের ভেক্টর রাশি কোন একটি বিন্দুতে কত কোণে ক্রিয়া করলে এদর লব্ধির মান যে কোন ভেক্টরের মানের অর্ধেক হবে?
দুইটি সমমানের ভেক্টর রাশি কোন একটি বিন্দুতে কত কোণে ক্রিয়া করলে এদর লব্ধির মান যে কোন ভেক্টরের মানের অর্ধেক হবে?
-
ক
120°
-
খ
45°
-
গ
151°
-
ঘ
75°
সঠিক উত্তর: 120°
ব্যাখ্যা:
- ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ নিয়ম: দুটি ভেক্টরকে যোগ করলে যে নতুন ভেক্টর পাওয়া যায়, তাকে লব্ধি ভেক্টর বলে। এই তিনটি ভেক্টরকে একত্রে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু হিসেবে চিত্রিত করা যায়।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: যেহেতু দুটি ভেক্টর সমান, তাই এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
- লব্ধির মান: আমাদেরকে দেওয়া আছে যে, লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের অর্ধেক। অর্থাৎ, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি (লব্ধি ভেক্টর) অন্য দুই বাহুর (মূল ভেক্টর দুটি) অর্ধেক।
- এমন একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ: এমন একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কথা চিন্তা করুন যেখানে ভূমি অন্য দুই বাহুর অর্ধেক। এই ধরনের ত্রিভুজে, ভূমির বিপরীত কোণটি 120° হবে এবং অন্য দুটি কোণ প্রত্যেকটি 30° হবে।
সুতরাং, যখন দুটি সমান ভেক্টর পরস্পরের সাথে 120° কোণ করে, তখন তাদের লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের অর্ধেক হয়।
যদি দুইটি সমমানের ভেক্টর একটি বিন্দুতে \( \theta \) কোণে ক্রিয়া করে এবং তাদের লব্ধির মান যে কোনো একটি ভেক্টরের মানের অর্ধেক হয়, তাহলে এই সমস্যাটি সমাধান করতে ভেক্টরের লব্ধির সূত্রটি ব্যবহার করা যায়:
\[
R = 2A \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
এখানে, \( R \) হলো দুই ভেক্টরের লব্ধি, \( A \) হলো যে কোনো একটি ভেক্টরের মান, এবং \( \theta \) হলো তাদের মধ্যে কোণ। প্রশ্ন অনুযায়ী, \( R = \frac{A}{2} \)।
সুতরাং, সমীকরণটি হবে:
\[
\frac{A}{2} = 2A \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
এখান থেকে:
\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{4}
\]
এখন, \( \frac{\theta}{2} \)-এর মান পেতে হলে:
\[
\frac{\theta}{2} = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)
\]
\[
\theta = 2 \times \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) \approx 120^\circ
\]
সুতরাং, দুইটি সমমানের ভেক্টর রাশি যদি 120° কোণে ক্রিয়া করে, তবে তাদের লব্ধির মান যে কোনো ভেক্টরের মানের অর্ধেক হবে। সঠিক উত্তর হলো **120°**।
১.১ সূচনা
Introduction
বিজ্ঞানের বিভিন্ন বিষয় সুনির্দিষ্টভাবে জানতে হলে কোন বা কোন ধরনের পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পদার্থের যে সব ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি (quantity) বলে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, বেগ, কাজ ইত্যাদি প্রত্যেকে এক একটি রাশি। পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোন রাশিকে ভৌত (physical) রাশি বলে।
কিছু কিছু ভৌত রাশিকে শুধুমাত্র মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়। আবার অনেক ভৌত রাশি রয়েছে যাদেরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ই প্রয়োজন হয়। তাই ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য অনুসারে ভৌত রাশিগুলোকে আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করতে পারি ; যথা—
(ক) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি (Scalar quantity)।
(খ) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বা সদিক রাশি (Vector quantity)।
(ক) স্কেলার রাশি :
যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে, কিন্তু দিক নেই, তাদেরকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, তাপ, বৈদ্যুতিক বিভব, দ্রুতি, কাজ ইত্যাদি কেলার বা অদিক রাশি।
(খ) ভেক্টর রাশি :
যে সব ভৌত রাশির মান এবং দিক দুই-ই আছে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন ইত্যাদি ভেক্টর বা দিক রাশি।
১.২ ভেক্টর রাশির নির্দেশনা
Representation of a vector
কোন একটি ভেক্টর রাশিকে দুভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে, যথা- (১) অক্ষর দ্বারা এবং (২) সরলরেখা দ্বারা।
১। অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চারভাবে প্রকাশ করা হয়, যথা-
(ক) কোন অক্ষরের উপর তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখা দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। সাধারণভাবে শুধু অক্ষর দ্বারাও রাশিটির মান নির্দেশ করা হয়।
A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ | A | বা A
(খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।
A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ । A
(গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।
A অক্ষরের ভেক্টর রূপ এবং মান রূপ | |
(ঘ) মোটা হরফের অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয়। যেমন A অক্ষরের ভেক্টর রূপ এবং এর মান A ভেক্টর রাশি নির্দেশের ক্ষেত্রে (ক)-এ ব্যবহৃত চিহ্নই শ্রেয়। তাই এই বই-এ আমরা এই পদ্ধতিই ব্যবহার করব।
২। সরলরেখা দ্বারা ভেক্টর রাশি নির্দেশ করতে হলে রাশিটির দিকে বা সমান্তরালে একটি সরলরেখা অংকন করে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে উত্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। এ পদ্ধতিকে জ্যামিতিক উপায়ে ভেক্টরের নির্দেশনাও বলে।
মনে করি, একটি ভেক্টর রাশির মান 5 এবং এর দিক পূর্ব দিক। একে সরলরেখা দ্বারা প্রকাশ করতে হবে। এখন AC একটি সরলরেখা পূর্ব- পশ্চিম দিক বরাবর অংকন করে AC সরলরেখা হতে সুবিধামত দৈর্ঘ্যকে একক ধরে এর 5 গুণ দৈর্ঘ্য AB কেটে নিই এবং AB-এর শেষ প্রান্তে পূর্ব দিকে তীর চিহ্ন যুক্ত করি [চিত্র ১:১]। এই তীর চিহ্নিত সরলরেখাই ভেক্টর রাশিটি নির্দেশ করবে। ভেক্টর রাশি নির্দেশী সরলরেখার তীর চিহ্নিত প্রান্ত B-কে শীর্ষবিন্দু বা অন্ত বিন্দু এবং অপর প্রান্ত A-কে আদিবিন্দু বা মূলবিন্দু বা পাদবিন্দু বলে।
Related Question
View All-
ক
90°
-
খ
180°
-
গ
45°
-
ঘ
0°
-
ক
-
খ
-
গ
-
ঘ
-
ক
-
খ
-
গ
-
ঘ
-
ক
-
খ
-
গ
-
ঘ
-
ক
-
খ
-
গ
-
ঘ
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
Question Analytics
মোট উত্তরদাতা
জন