সংখ্যা দুইটির মধ্যে পার্থক্য হল
i. (5.5)₁₀
ii. (5.4)₈
iii. (15.4)₁₆
নিচের কোনটি সঠিক?

সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর এবং যোগ-বিয়োগ আইসিটি এর একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এই প্রশ্নটিতে দুইটি বাইনারি সংখ্যার পার্থক্য নির্ণয় করে সেটিকে দশমিক, অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করে যাচাই করতে বলা হয়েছে।

দেওয়া আছে, দুইটি বাইনারি সংখ্যা হলো:

প্রথম সংখ্যা: \((1101.01)_2\)

দ্বিতীয় সংখ্যা: \((111.11)_2\)

আমাদেরকে এই দুইটি সংখ্যার পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে, সংখ্যা দুটিকে দশমিকে রূপান্তর করে পার্থক্য নির্ণয় করি।

১. প্রথম বাইনারি সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর:

\((1101.01)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}\)

\(= 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 0.5 + 1 \times 0.25\)

\(= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25\)

\(= (13.25)_{10}\)

২. দ্বিতীয় বাইনারি সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর:

\((111.11)_2 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}\)

\(= 1 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 0.5 + 1 \times 0.25\)

\(= 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25\)

\(= (7.75)_{10}\)

৩. সংখ্যা দুইটির পার্থক্য দশমিকে নির্ণয়:

পার্থক্য \(= (13.25)_{10} - (7.75)_{10}\)

\(= (5.50)_{10}\)

সুতরাং, পার্থক্যটি \((5.5)_{10}\)। এটি i. (5.5)₁₀ এর সাথে মিলে যায়।

বিকল্পভাবে, সরাসরি বাইনারি বিয়োগ করে পার্থক্যটি নির্ণয় করা যায়:

   1101.01
-  0111.11
---------
   0101.10

বাইনারি বিয়োগের ধাপগুলি হলো:

    
1. ডান থেকে শুরু করে: \(1 - 1 = 0\) (দশমিক বিন্দুর পরের দ্বিতীয় অঙ্ক)
    
2. \(0 - 1\) করা যায় না, তাই বাম পাশের ১ থেকে ধার নিতে হবে। ১ থেকে ধার নিলে ১টি ০ হয়ে যাবে এবং ডান পাশের ০টি \(0+2=2\) হয়ে যাবে। তাহলে \(2 - 1 = 1\)।
    
3. দশমিক বিন্দুর আগের অঙ্ক: বাম পাশে ১ থেকে ধার নেওয়ায় এই ১টি ০ হয়ে গিয়েছিল। এখন \(0 - 1\) করা যায় না। তাই আবার বাম পাশের ০ থেকে ধার নিতে হবে। এই ০টি তার বাম পাশের ১ থেকে ধার নেবে, ফলে সে \(0+2=2\) হবে। তারপর সেখান থেকে ডান পাশের অঙ্ককে ধার দিলে নিজে \(2-1=1\) হবে এবং ডান পাশের ০টি \(0+2=2\) হবে। তাহলে \(2 - 1 = 1\)।
    
4. তার বাম পাশের অঙ্ক: বাম পাশের ১ থেকে ধার নেওয়ায় এই ০টি \(0+2=2\) হয়েছিল, তারপর নিজে ১ ধার দেওয়ায় ১ হয়েছিল। এখন \(1 - 1 = 0\)।
    
5. তার বাম পাশের অঙ্ক: বাম পাশের ১ থেকে ধার নেওয়ায় এই ১টি ০ হয়ে গিয়েছিল। এখন \(0 - 1\) করা যায় না, তাই বাম পাশের ১ থেকে ধার নিতে হবে। বাম পাশের ১টি ০ হয়ে যাবে এবং ০টি \(0+2=2\) হবে। তাহলে \(2 - 1 = 1\)।
    
6. বাম পাশের শেষ অঙ্ক: বাম পাশের ১টি ধার দেওয়ায় ০ হয়ে গিয়েছিল। \(0 - 0 = 0\)।

সুতরাং, বাইনারি পার্থক্য হলো \((101.10)_2\)।

এখন, এই বাইনারি পার্থক্যকে অন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করে যাচাই করি:

৪. বাইনারি পার্থক্যকে অক্টালে রূপান্তর:

বাইনারি সংখ্যা \((101.10)_2\) কে অক্টালে রূপান্তর করার জন্য দশমিক বিন্দুর উভয় পাশে তিন বিট করে গ্রুপ করতে হবে। প্রয়োজনে বামে এবং ডানে ০ যোগ করতে হবে।

\((101.10)_2 = (101.100)_2\)

    
• পূর্ণাংশ: \(101_2 = 5_8\)
    
• ভগ্নাংশ: \(100_2 = 4_8\)

সুতরাং, পার্থক্যটি হলো \((5.4)_8\)। এটি ii. (5.4)₈ এর সাথে মিলে যায়।

৫. বাইনারি পার্থক্যকে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:

বাইনারি সংখ্যা \((101.10)_2\) কে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর করার জন্য দশমিক বিন্দুর উভয় পাশে চার বিট করে গ্রুপ করতে হবে। প্রয়োজনে বামে এবং ডানে ০ যোগ করতে হবে।

\((101.10)_2 = (0101.1000)_2\)

    
• পূর্ণাংশ: \(0101_2 = 5_{16}\)
    
• ভগ্নাংশ: \(1000_2 = 8_{16}\)

সুতরাং, পার্থক্যটি হলো \((5.8)_{16}\)। এটি iii. (15.4)₁₆ এর সাথে মিলে না।

উপসংহার: i এবং ii সঠিক।