১ থেকে ১০০ পর্যন্ত কয়টি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়?

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত কতগুলো সংখ্যাকে দুইটি ধনাত্মক বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ (Square) নির্ণয় করি:

    
• \(1^2 = 1\)
    
• \(2^2 = 4\)
    
• \(3^2 = 9\)
    
• \(4^2 = 16\)
    
• \(5^2 = 25\)
    
• \(6^2 = 36\)
    
• \(7^2 = 49\)
    
• \(8^2 = 64\)
    
• \(9^2 = 81\)
    
• \(10^2 = 100\)

এখন, আমরা দুটি ধনাত্মক বর্গের যোগফল \(a^2 + b^2\) বের করব, যেখানে \(1 \le a \le b\) এবং যোগফলটি ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

১. যখন \(a = 1\) (অর্থাৎ \(1^2 = 1\)):

    
• \(1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)
    
• \(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)
    
• \(1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
    
• \(1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17\)
    
• \(1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26\)
    
• \(1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37\)
    
• \(1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\)
    
• \(1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65\)
    
• \(1^2 + 9^2 = 1 + 81 = 82\)
    (উল্লেখ্য: \(1^2 + 10^2 = 1 + 100 = 101\) যা ১০০ এর বেশি, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।)

২. যখন \(a = 2\) (অর্থাৎ \(2^2 = 4\)), \(b \ge 2\) হতে হবে:

    
• \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)
    
• \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\)
    
• \(2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)
    
• \(2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\)
    
• \(2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\)
    
• \(2^2 + 7^2 = 4 + 49 = 53\)
    
• \(2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68\)
    
• \(2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85\)

৩. যখন \(a = 3\) (অর্থাৎ \(3^2 = 9\)), \(b \ge 3\) হতে হবে:

    
• \(3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\)
    
• \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
    
• \(3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\)
    
• \(3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\)
    
• \(3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58\)
    
• \(3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73\)
    
• \(3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90\)

৪. যখন \(a = 4\) (অর্থাৎ \(4^2 = 16\)), \(b \ge 4\) হতে হবে:

    
• \(4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)
    
• \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\)
    
• \(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\)
    
• \(4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65\)
    
• \(4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\)
    
• \(4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97\)

৫. যখন \(a = 5\) (অর্থাৎ \(5^2 = 25\)), \(b \ge 5\) হতে হবে:

    
• \(5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\)
    
• \(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)
    
• \(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
    
• \(5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89\)

৬. যখন \(a = 6\) (অর্থাৎ \(6^2 = 36\)), \(b \ge 6\) হতে হবে:

    
• \(6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\)
    
• \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\)
    
• \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

৭. যখন \(a = 7\) (অর্থাৎ \(7^2 = 49\)), \(b \ge 7\) হতে হবে:

    
• \(7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98\)
    (উল্লেখ্য: \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\) যা ১০০ এর বেশি, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।)

৮. যখন \(a = 8\) (অর্থাৎ \(8^2 = 64\)), \(b \ge 8\) হতে হবে:

    
• \(8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\) যা ১০০ এর বেশি, তাই \(a=8\) বা তার বেশি মানের জন্য কোনো সংখ্যা পাওয়া যাবে না।

প্রাপ্ত সকল সংখ্যাগুলো একত্রিত করে লিখি (পুনরাবৃত্তি বাদ দিয়ে):

\(2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100\)।

এই তালিকার মোট সংখ্যা গণনা করলে পাওয়া যায়: 35টি।