∫011-x1+x dx এর মান কোনটি ?

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি ?

Created: 3 years ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

$\frac{π}{2} + 1$
খ

$\frac{π}{2} - 1$
গ

1
ঘ

$π$

343

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত যোগজটি হলো:

\[ \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \]

প্রথমে যোগজের ভেতরের রাশিটিকে সরল করা যাক:

\[ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \]

এখন যোগজটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

\[ \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

আমরা প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করব।

প্রথম অংশ:

\[ I_1 = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

এটি একটি প্রমাণ আকার (standard form) যার যোগজ হলো $ \sin^{-1}(x) $।

\[ I_1 = [\sin^{-1}(x)]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ I_2 = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

এখানে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করা হবে।
ধরি, $ u = 1-x^2 $
তাহলে, $ du = -2x dx $
অর্থাৎ, $ x dx = -\frac{1}{2} du $

এখন সীমানা পরিবর্তন করতে হবে:

যখন $ x = 0 $, তখন $ u = 1 - 0^2 = 1 $
যখন $ x = 1 $, তখন $ u = 1 - 1^2 = 0 $

সুতরাং, দ্বিতীয় অংশটি হবে:

\[ I_2 = \int_1^0 \frac{1}{\sqrt{u}} \left( -\frac{1}{2} \right) du = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} du \]

এখন যোগজীকরণ করা যাক:

\[ I_2 = -\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_1^0 = -\frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_1^0 = -[\sqrt{u}]_1^0 \]

সীমানা বসিয়ে পাই:

\[ I_2 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = -(0 - 1) = 1 \]

এখন দুটি অংশের ফলাফল একত্রিত করা যাক:

\[ \text{মোট যোগজ} = I_1 - I_2 = \frac{\pi}{2} - 1 \]

সুতরাং, প্রদত্ত যোগজের মান হলো $ \frac{\pi}{2}-1 $।

Satt AI

5 days ago

MCQ: 1.3k

Practice

যোগজীকরণ

যোগজীকরণ বলতে বোঝায় একটি পদ্ধতি যার মাধ্যমে একটি অসীম ধারার (series) যোগফল বের করা হয়। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা, যেখানে ধারার বিভিন্ন পদগুলিকে যোগ করে একটি নির্দিষ্ট মান বের করার চেষ্টা করা হয়। যোগজীকরণের মাধ্যমে অসীম ধারাকে নির্দিষ্ট মানে সীমাবদ্ধ করা যায়, যা বিভিন্ন ক্ষেত্রে গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, এবং প্রকৌশলে খুবই কার্যকর।

যোগজীকরণের দুটি সাধারণ প্রকার:

সসীম যোগজীকরণ (Finite Summation): যেখানে নির্দিষ্ট কিছু সংখ্যক পদ যোগ করা হয়, এবং যোগফলটি একটি সসীম সংখ্যা হয়। উদাহরণস্বরূপ,
\[
S = 1 + 2 + 3 + \dots + n
\]
এখানে $ n $ সংখ্যক পদ যোগ করা হয়।
অসীম যোগজীকরণ (Infinite Summation): এখানে ধারার পদগুলিকে অসীম পর্যন্ত যোগ করা হয়। অসীম যোগজীকরণের ক্ষেত্রে কিছু ধারার জন্য একটি নির্দিষ্ট যোগফল নির্ণয় করা যায়, একে সসীম যোগজীকরণ বলা হয়। যেমন, জ্যামিতিক ধারা $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots $ এর যোগফল ১ এর দিকে এগোতে থাকে।

যোগজীকরণে সাধারণত সীমা (Limit) এবং ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করা হয় অসীম ধারার ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করতে।

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি ?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

∫011-x1+xdx এর মান কোনটি ?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি ?