∫011-x1+x dx এর মান কোনটি?

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি?

Created: 3 years ago | Updated: 3 months ago

Updated: 3 months ago

ক

$\frac{π}{2} + 1$
খ

$\frac{π}{2} - 1$
গ

1
ঘ

$π$

CU CU D Unit উচ্চতর গণিত 2021 নির্দিষ্ট যোগজ

380

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত যোগজটি হলো:

\[ \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \]

প্রথমে যোগজের ভেতরের রাশিটিকে সরল করা যাক:

\[ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \]

এখন যোগজটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

\[ \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

আমরা প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করব।

প্রথম অংশ:

\[ I_1 = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

এটি একটি প্রমাণ আকার (standard form) যার যোগজ হলো $ \sin^{-1}(x) $।

\[ I_1 = [\sin^{-1}(x)]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ I_2 = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

এখানে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করা হবে।
ধরি, $ u = 1-x^2 $
তাহলে, $ du = -2x dx $
অর্থাৎ, $ x dx = -\frac{1}{2} du $

এখন সীমানা পরিবর্তন করতে হবে:

যখন $ x = 0 $, তখন $ u = 1 - 0^2 = 1 $
যখন $ x = 1 $, তখন $ u = 1 - 1^2 = 0 $

সুতরাং, দ্বিতীয় অংশটি হবে:

\[ I_2 = \int_1^0 \frac{1}{\sqrt{u}} \left( -\frac{1}{2} \right) du = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} du \]

এখন যোগজীকরণ করা যাক:

\[ I_2 = -\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_1^0 = -\frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_1^0 = -[\sqrt{u}]_1^0 \]

সীমানা বসিয়ে পাই:

\[ I_2 = -(\sqrt{0} - \sqrt{1}) = -(0 - 1) = 1 \]

এখন দুটি অংশের ফলাফল একত্রিত করা যাক:

\[ \text{মোট যোগজ} = I_1 - I_2 = \frac{\pi}{2} - 1 \]

সুতরাং, প্রদত্ত যোগজের মান হলো $ \frac{\pi}{2}-1 $।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 509

Practice

নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ বলতে বুঝায় এমন একটি যোগফল যা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে। এটি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকা ধারার যোগফল নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে ধারার শুরু এবং শেষের অবস্থান নির্দিষ্ট থাকে। গণিতের ভাষায়, এটি সসীম যোগের (finite sum) ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের একটি ধারার নির্দিষ্ট কিছু পদ যোগ করতে হবে। যেমন, $1 + 2 + 3 + \dots + n$। এখানে আমরা $n$ সংখ্যক পদ যোগ করছি, এবং এই যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হবে।

যদি $ n = 5 $ হয়, তাহলে নির্দিষ্ট যোগজ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজকে Σ (সিগমা) প্রতীক দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ধরুন, আমাদের একটি ফাংশন $ f(i) $ এর জন্য $ i = a $ থেকে $ i = b $ পর্যন্ত নির্দিষ্ট যোগজ বের করতে হবে। তাহলে আমরা এটি লিখতে পারি:
\[
\sum_{i=a}^{b} f(i)
\]

উদাহরণস্বরূপ, $ \sum_{i=1}^{5} i $ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজ এবং নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেশন (Definite Integration) মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। যখন একটি ধারার পদ সংখ্যা অসীম হয় এবং ধারা খুব ছোট ছোট অংশে বিভক্ত হয়, তখন নির্দিষ্ট যোগজকে ইন্টিগ্রাল হিসেবেও প্রকাশ করা যায়।

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

নির্দিষ্ট যোগজ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়, যেমন:

ক্ষেত্রফল নির্ণয়: নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে বিভিন্ন ফাংশনের গ্রাফের নিচে থাকা ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
গণনামূলক বিশ্লেষণ: ধারার নির্দিষ্ট যোগফল বিভিন্ন গণনায় নির্ণীত মান বের করতে সহায়ক হয়।

নির্দিষ্ট যোগজ গণিত, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞানসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় এবং এটি বিশ্লেষণ ও সঠিক মান নির্ণয়ে অত্যন্ত কার্যকর।

Notification

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি?

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

∫011-x1+xdx এর মান কোনটি?

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} d x$ এর মান কোনটি?