$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{dx}{1-sinx}$ এর মান হল-

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \sin x} \)। এই ইনটেগ্রাল সমাধান করার জন্য আমরা কিছু পরিবর্তন এবং সূত্র ব্যবহার করব।

### ধাপ ১: পরিচিতি
আমরা জানি যে, \( 1 - \sin x \) কে আরও সরল করতে পারি \( \sin x \) এর একটি পরিচিত রূপ ব্যবহার করে। আমাদের লক্ষ্য হলো ইনটেগ্রালটিকে সহজ একটি আকারে রূপান্তর করা।

### ধাপ ২: \( \sin x \) এর পরিবর্তন
আমরা জানি:

\[
1 - \sin x = \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2
\]

এখন, \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) ব্যবহার করে ইনটেগ্রালটি লিখতে পারি:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \sin x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}
\]

### ধাপ ৩: ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার
আমরা জানি \( \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \)। সুতরাং:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \, dx
\]

### ধাপ ৪: পরিবর্তনশীল পরিবর্তন
এখন আমরা \( u = \frac{x}{2} \) ধরে পরিবর্তন করব। সুতরাং, \( du = \frac{1}{2}dx \) অথবা \( dx = 2du \)। ইনটেগ্রালের সীমা পরিবর্তিত হবে:
- যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 0 \)।
- যখন \( x = \frac{\pi}{4} \), তখন \( u = \frac{\pi}{8} \)।

তাহলে ইনটেগ্রালটি হবে:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sec^2(u) \cdot 2 \, du
\]

\[
= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sec^2(u) \, du
\]

### ধাপ ৫: ইনটেগ্রেশন
\( \int \sec^2(u) \, du = \tan(u) \)। সুতরাং:

\[
= 2 \left[ \tan(u) \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}}
\]

\[
= 2 \left( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) - \tan(0) \right)
\]

আমরা জানি \( \tan(0) = 0 \), তাই:

\[
= 2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{8}\right)
\]

### ধাপ ৬: \( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \) এর মান
\( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \) এর মান হলো \( \sqrt{2} - 1 \)।

সুতরাং,

\[
= 2 (\sqrt{2} - 1)
\]

### সঠিক উত্তর:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 - \sin x} = 2(\sqrt{2} - 1)
\]