(-1, -1) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নিম্নের কোনটি?

Created: 4 months ago | Updated: 1 week ago

Updated: 1 week ago

ক

$(\sqrt{2}, - 45 °)$
খ

$(\sqrt{2}, 45 °)$
গ

$(\sqrt{2}, 225 °)$
ঘ

$(\sqrt{2}, 135 °)$

ব্যাখ্যাঃ

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y)$ কে পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ এ রূপান্তরের জন্য সূত্রগুলো হলো:

১. ব্যাসার্ধ ভেক্টর $r = \sqrt{x^2 + y^2}$

২. কোণ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ (কোয়ার্ড্রান্ট অনুযায়ী পরিবর্তিত হবে)

এখানে প্রদত্ত বিন্দুটি হলো $(-1, -1)$। সুতরাং, $x = -1$ এবং $y = -1$।

বিস্তারিত সমাধান:

১. $r$ এর মান নির্ণয়:

আমরা জানি, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}$

$r = \sqrt{1 + 1}$

$r = \sqrt{2}$

২. $\theta$ এর মান নির্ণয়:

বিন্দু $(-1, -1)$ তৃতীয় চতুর্ভাগে (3rd Quadrant) অবস্থিত, কারণ $x$ ও $y$ উভয়ই ঋণাত্মক।

প্রথমে রেফারেন্স কোণ (reference angle) $\alpha$ নির্ণয় করি:

$\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$

$\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{-1}{-1}\right|$

$\alpha = \tan^{-1}(1)$

$\alpha = 45^\circ$

যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই $\theta$ এর মান হবে:

$\theta = 180^\circ + \alpha$

$\theta = 180^\circ + 45^\circ$

$\theta = 225^\circ$

সুতরাং, $(-1, -1)$ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হলো $\left(\sqrt{2}, 225^\circ\right)$।

বিকল্পগুলো যাচাই:

বিকল্প 1: $\left(\sqrt{2}, -45^\circ\right)$। $-45^\circ$ কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।
বিকল্প 2: $\left(\sqrt{2}, 45^\circ\right)$। $45^\circ$ কোণটি প্রথম চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।
বিকল্প 3: $\left(\sqrt{2}, 225^\circ\right)$। $225^\circ$ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে $(180^\circ < 225^\circ < 270^\circ)$ নির্দেশ করে। এটি সঠিক।
বিকল্প 4: $\left(\sqrt{2}, 135^\circ\right)$। $135^\circ$ কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 169

Practice

কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক হলো বিভিন্ন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে অবস্থান নির্দেশ করার একটি উপায়। এই দুই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian Coordinates)

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে (Cartesian Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে $ (x, y) $ আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

$ x $: $ x $-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব
$ y $: $ y $-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব

পোলার স্থানাঙ্ক (Polar Coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে (Polar Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে $ (r, \theta) $ আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

$ r $: বিন্দুটি মূলবিন্দু (Origin) থেকে কত দূরে আছে (ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব)
$ \theta $: $ x $-অক্ষের সাথে বিন্দুর অবস্থানের কোণ

কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $ (x, y) $ থেকে পোলার স্থানাঙ্ক $ (r, \theta) $ এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)
\]
এখানে $ r $ হল ব্যাসার্ধ এবং $ \theta $ হল কোণ।

পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর

পোলার স্থানাঙ্ক $ (r, \theta) $ থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $ (x, y) $ এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
x = r \cos \theta
\]
\[
y = r \sin \theta
\]
এখানে $ r $ হল মূলবিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এবং $ \theta $ হল কোণ।

উদাহরণ

যদি একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $ (3, 4) $ হয়, তাহলে আমরা পোলার স্থানাঙ্কে এটি বের করতে পারি:

$ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ $ বা $ 0.93 $ রেডিয়ান

অতএব, পোলার স্থানাঙ্ক $ (5, 53.13^\circ) $ বা $ (5, 0.93) $।

এইভাবে কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে রূপান্তর করতে এই সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়।

Notification