${(11011.001)}_2-(1011.110{)}_2=?$

প্রদত্ত বাইনারি সংখ্যাদ্বয় হলো:

\((11011.001)_2\)

\((1011.110)_2\)

আমাদেরকে এই দুটি বাইনারি সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে। বিয়োগের সুবিধার জন্য দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার সাথে দশমিক বিন্দুর আগে একটি অতিরিক্ত \(0\) দিয়ে সমান সংখ্যক ডিজিট সহ সাজানো হলো:

   11011.001

-  01011.110

-----------

এখন ডানদিক থেকে বিয়োগফল নির্ণয় করি। বাইনারি বিয়োগে, যদি ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক বিয়োগ করতে হয়, তবে বামের অঙ্ক থেকে \(1\) ধার (borrow) নিতে হয়। ধার নেওয়া \(1\) বর্তমান অঙ্কের সাথে \(2\) যোগ করে (কারণ বাইনারি ভিত্তি \(2\)) বিয়োগ করা হয়।

বিয়োগ প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপ:

ধাপ ১: দশমিক বিন্দুর ডানদিকের শেষ অঙ্ক (0.125s স্থান)

\(1 - 0 = 1\)

ধাপ ২: দশমিক বিন্দুর ডানদিকের দ্বিতীয় অঙ্ক (0.25s স্থান)

\(0 - 1\)। এখানে \(0\) থেকে \(1\) বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তাই বামপাশের অঙ্ক থেকে \(1\) ধার নিতে হবে।

• দশমিকের 0.5s স্থানের \(0\) তার বামপাশের পূর্ণসংখ্যার অংশের units place-এর \(1\) থেকে \(1\) ধার নেবে।
• পূর্ণসংখ্যার অংশের units place-এর \(1\) থেকে \(1\) ধার নিলে সেটি \(0\) হয়ে যায়।
• দশমিকের 0.5s স্থানের \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়। এই \(10_2\) আবার ডানপাশের 0.25s স্থানে \(1\) ধার দেয়, ফলে এটি নিজে \(1_2\) হয়ে যায়।
• দশমিকের 0.25s স্থানের \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়।
• এখন, \(10_2 - 1_2 = 1_2\)।

ধাপ ৩: দশমিক বিন্দুর ডানদিকের প্রথম অঙ্ক (0.5s স্থান)

এই স্থানের আসল \(0\) পূর্বে ধার নিয়ে \(10_2\) হয়েছিল এবং তারপর ডানপাশে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(1_2\) হয়ে গিয়েছিল।

এখন, \(1_2 - 1_2 = 0_2\)।

সুতরাং, দশমিকের পরের অংশটি হলো \(.011\)।

ধাপ ৪: পূর্ণসংখ্যার অংশের শেষ অঙ্ক (units place)

এই স্থানের আসল \(1\) পূর্বে ডানপাশের দশমিকের অংশকে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(0\) হয়ে গেছে।

\(0 - 1\)। এখানে \(0\) থেকে \(1\) বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তাই বামপাশের (2s স্থানে) \(1\) থেকে \(1\) ধার নিতে হবে।

• 2s স্থানের \(1\) থেকে \(1\) ধার নিলে সেটি \(0\) হয়ে যায়।
• units place-এর \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়।
• এখন, \(10_2 - 1_2 = 1_2\)।

ধাপ ৫: পূর্ণসংখ্যার অংশের দ্বিতীয় অঙ্ক (2s place)

এই স্থানের আসল \(1\) পূর্বে ডানপাশে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(0\) হয়ে গেছে।

\(0 - 1\)। এখানে \(0\) থেকে \(1\) বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তাই বামপাশের (4s স্থানে) \(0\) থেকে \(1\) ধার নিতে হবে।

• 4s স্থানের \(0\) তার বামপাশের (8s স্থানে) \(1\) থেকে \(1\) ধার নেবে।
• 8s স্থানের \(1\) থেকে \(1\) ধার নিলে সেটি \(0\) হয়ে যায়।
• 4s স্থানের \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়। এই \(10_2\) আবার ডানপাশের 2s স্থানে \(1\) ধার দেয়, ফলে এটি নিজে \(1_2\) হয়ে যায়।
• 2s স্থানের \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়।
• এখন, \(10_2 - 1_2 = 1_2\)।

ধাপ ৬: পূর্ণসংখ্যার অংশের তৃতীয় অঙ্ক (4s place)

এই স্থানের আসল \(0\) পূর্বে ধার নিয়ে \(10_2\) হয়েছিল এবং তারপর ডানপাশে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(1_2\) হয়ে গিয়েছিল।

এখন, \(1_2 - 0_2 = 1_2\)।

ধাপ ৭: পূর্ণসংখ্যার অংশের চতুর্থ অঙ্ক (8s place)

এই স্থানের আসল \(1\) পূর্বে ডানপাশে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(0\) হয়ে গেছে।

\(0 - 1\)। এখানে \(0\) থেকে \(1\) বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তাই বামপাশের (16s স্থানে) \(1\) থেকে \(1\) ধার নিতে হবে।

• 16s স্থানের \(1\) থেকে \(1\) ধার নিলে সেটি \(0\) হয়ে যায়।
• 8s স্থানের \(0\) এর সাথে ধার নেওয়া \(1\) যোগ হয়ে \((0+2)_2 = 10_2\) হয়।
• এখন, \(10_2 - 1_2 = 1_2\)।

ধাপ ৮: পূর্ণসংখ্যার অংশের পঞ্চম অঙ্ক (16s place)

এই স্থানের আসল \(1\) পূর্বে ডানপাশে \(1\) ধার দেওয়ায় এটি \(0\) হয়ে গেছে।

\(0 - 0 = 0\)।

সব মিলিয়ে বিয়োগফল হলো \( (1111.011)_2 \)।

  1 1 0 1 1 . 0 0 1

- 0 1 0 1 1 . 1 1 0

-------------------

  1 1 1 1 . 0 1 1

💡 শর্টকাট টেকনিক (দশমিকে রূপান্তর):

বাইনারি সংখ্যাগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করে বিয়োগ করে আবার বাইনারিতে রূপান্তর করা যেতে পারে:

প্রথম সংখ্যা: \((11011.001)_2\)

• পূর্ণসংখ্যার অংশ: \(1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27\)
• ভগ্নাংশের অংশ: \(0 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.125 = 0.125\)
• সুতরাং, \((11011.001)_2 = (27.125)_{10}\)

দ্বিতীয় সংখ্যা: \((1011.110)_2\)

• পূর্ণসংখ্যার অংশ: \(1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11\)
• ভগ্নাংশের অংশ: \(1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 0 \cdot 2^{-3} = 1 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.25 + 0 \cdot 0.125 = 0.5 + 0.25 = 0.75\)
• সুতরাং, \((1011.110)_2 = (11.75)_{10}\)

দশমিকে বিয়োগ:

\((27.125)_{10} - (11.75)_{10} = (15.375)_{10}\)

এখন \((15.375)_{10}\) কে আবার বাইনারিতে রূপান্তর করি:

• পূর্ণসংখ্যার অংশ \((15)_{10}\):
• \(15 \div 2 = 7\) ভাগশেষ \(1\)
• \(7 \div 2 = 3\) ভাগশেষ \(1\)
• \(3 \div 2 = 1\) ভাগশেষ \(1\)
• \(1 \div 2 = 0\) ভাগশেষ \(1\)
• উপর থেকে নিচে সাজালে: \((1111)_2\)

• ভগ্নাংশের অংশ \((0.375)_{10}\):
• \(0.375 \times 2 = 0.75\) (পূর্ণসংখ্যা \(0\))
• \(0.75 \times 2 = 1.50\) (পূর্ণসংখ্যা \(1\))
• \(0.50 \times 2 = 1.00\) (পূর্ণসংখ্যা \(1\))
• নিচ থেকে উপরে সাজালে: \((.011)_2\)

সুতরাং, \((15.375)_{10} = (1111.011)_2\)।

সঠিক উত্তর হলো 4. \( (1111.011)_2 \)