A বিন্দু এবং তার থেকে 1m দূরে B বিন্দুতে যথাক্রমে 2 q এবং q আধান রাখা হলে কোন বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হবে? AB রেখায় A এবং B বিন্দু থেকে যথাক্রমে -

ব্যাখ্যাঃ

দুটি আধান \(\small 2q\) এবং \(\small q\) যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে অবস্থিত এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\small L = 1m\)। যে বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য (Electric Field Intensity) শূন্য হবে, সেই বিন্দুতে দুটি আধানের জন্য উৎপন্ন তড়িৎ প্রাবল্যের মান সমান হবে কিন্তু দিক হবে বিপরীত।

প্রদত্ত অপশনগুলো দেখে বোঝা যাচ্ছে, আধান দুটি বিপরীতধর্মী। কারণ, যদি একই ধর্মী আধান হতো, তাহলে শূন্য প্রাবল্যের বিন্দু দুটি আধানের মাঝখানে থাকতো এবং অপশনগুলোতে \(\small (2 - \sqrt{2})m\) ও \(\small (\sqrt{2} - 1)m\) জাতীয় উত্তর থাকত, যা এখানে নেই।

ধরা যাক, A বিন্দুতে \(\small +2q\) এবং B বিন্দুতে \(\small -q\) আধান আছে। দুটি বিপরীতধর্মী আধানের ক্ষেত্রে শূন্য প্রাবল্যের বিন্দুটি আধান দুটিকে সংযোগকারী রেখার বাইরে এবং ছোট আধানটির (magnitude-এর দিক থেকে) পাশে থাকে। এখানে \(\small |q|\) আধানটি \(\small |2q|\) আধানের থেকে ছোট। সুতরাং, শূন্য প্রাবল্যের বিন্দুটি B বিন্দুর ডানদিকে (অর্থাৎ \(\small |q|\) আধানের পাশে) অবস্থিত হবে।

ধরা যাক, A বিন্দুকে মূলবিন্দু (\(\small x=0\)) ধরা হলো। তাহলে B বিন্দুর অবস্থান হবে \(\small x=L=1m\)।

ধরা যাক, শূন্য প্রাবল্যের বিন্দুটি A থেকে \(\small x\) দূরত্বে অবস্থিত। যেহেতু এটি B বিন্দুর ডানদিকে, তাই B থেকে এর দূরত্ব হবে \(\small (x-L)\)।

A বিন্দুর আধান \(\small Q_A = 2q\) এর জন্য \(\small x\) দূরত্বে তড়িৎ প্রাবল্য:

\[ E_A = k \frac{2q}{x^2} \]

এই প্রাবল্যের দিক ধনাত্মক \(\small x\) অক্ষ বরাবর (A থেকে দূরে)।

B বিন্দুর আধান \(\small Q_B = -q\) এর জন্য \(\small (x-L)\) দূরত্বে তড়িৎ প্রাবল্য:

\[ E_B = k \frac{|-q|}{(x-L)^2} = k \frac{q}{(x-L)^2} \]

এই প্রাবল্যের দিক ঋণাত্মক \(\small x\) অক্ষ বরাবর (B এর দিকে)।

শূন্য প্রাবল্যের জন্য, \(\small |E_A| = |E_B|\) হতে হবে:

\[ k \frac{2q}{x^2} = k \frac{q}{(x-L)^2} \]

উভয় পক্ষ থেকে \(\small kq\) বাদ দিয়ে পাই:

\[ \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2} \]

উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই (যেহেতু \(\small x > L\), তাই \(\small x\) এবং \(\small x-L\) উভয়ই ধনাত্মক):

\[ \frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x-L} \]

বা,

\[ \sqrt{2}(x-L) = x \]

এখানে \(\small L=1m\), সুতরাং:

\[ \sqrt{2}(x-1) = x \] \[ \sqrt{2}x - \sqrt{2} = x \] \[ \sqrt{2}x - x = \sqrt{2} \] \[ x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} \] \[ x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \]

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \(\small (\sqrt{2} + 1)\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ x = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \] \[ x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} \] \[ x = (2 + \sqrt{2}) m \]

এটি A বিন্দু থেকে দূরত্ব।

B বিন্দু থেকে দূরত্ব হবে:

\[ x_B = x - L = (2 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + \sqrt{2}) m \]

সুতরাং, শূন্য প্রাবল্যের বিন্দুটি A থেকে \(\small (2 + \sqrt{2})m\) এবং B থেকে \(\small (1 + \sqrt{2})m\) দূরে অবস্থিত হবে।