ABC ত্রিভুজের a : b : c = 3 : 7 : 5 হলে B কোণের মান কত?

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যদি a, b, c হয় এবং তাদের বিপরীত কোণগুলো যথাক্রমে A, B, C হয়, তবে কোসাইন সূত্র (Cosine Rule) অনুসারে:

    
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
    
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\)
    
• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)

প্রশ্নানুযায়ী, ABC ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত a : b : c = 3 : 7 : 5।

ধরি, বাহুগুলো যথাক্রমে \(a = 3k\), \(b = 7k\) এবং \(c = 5k\), যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।

B কোণের মান নির্ণয় করতে, আমরা কোসাইন সূত্রটি ব্যবহার করব:

\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\)

এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই:

\((7k)^2 = (3k)^2 + (5k)^2 - 2(3k)(5k) \cos B\)

\(49k^2 = 9k^2 + 25k^2 - 30k^2 \cos B\)

\(49k^2 = 34k^2 - 30k^2 \cos B\)

উভয় পক্ষকে \(k^2\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 0\)):

\(49 = 34 - 30 \cos B\)

এখন, \(\cos B\) এর মান বের করি:

\(30 \cos B = 34 - 49\)

\(30 \cos B = -15\)

\(\cos B = \frac{-15}{30}\)

\(\cos B = -\frac{1}{2}\)

আমরা জানি যে, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) ।

সুতরাং, \(B = 120^\circ\)।