F = xy + $x$ z + yz হলে $F$ = কত?

Created: 2 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

xy + yz
খ

$x y + y . z$
গ

$x . y + y . z$
ঘ

$x . y + y . z$

RU RU C Unit তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি 2024 বুলিয়ান উপপাদ্য

541

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত বুলিয়ান ফাংশনটি হলো:

$F = xy + \bar{x}z + yz$

এই ফাংশনটিকে প্রথমে সরলীকরণ করা যাক। বুলিয়ান বীজগণিতের কনসেনসাস উপপাদ্য (Consensus Theorem) অনুযায়ী, $AB + \bar{A}C + BC = AB + \bar{A}C$।

এখানে, $A = x$, $B = y$, $C = z$। তাহলে $BC = yz$ পদটি অপ্রয়োজনীয় (redundant)।

অতএব, $F = xy + \bar{x}z$

এখন, $\bar{F}$ নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য আমরা ডিমর্গানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem) ব্যবহার করব।

ডিমর্গানের উপপাদ্য অনুসারে, $\overline{A+B} = \bar{A}\bar{B}$ এবং $\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$।

$\bar{F} = \overline{(xy + \bar{x}z)}$

$\bar{F} = \overline{(xy)} \cdot \overline{(\bar{x}z)}$ (ডিমর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ করে)

$\bar{F} = (\bar{x} + \bar{y}) \cdot (\overline{\bar{x}} + \bar{z})$ (ডিমর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ করে)

$\bar{F} = (\bar{x} + \bar{y}) \cdot (x + \bar{z})$ (কারণ $\overline{\bar{x}} = x$)

এখন, প্রাপ্ত রাশিটিকে গুণ করে সরলীকরণ করা যাক:

$\bar{F} = \bar{x} \cdot x + \bar{x} \cdot \bar{z} + \bar{y} \cdot x + \bar{y} \cdot \bar{z}$

যেহেতু, $\bar{x} \cdot x = 0$ (কমপ্লিমেন্টারি উপপাদ্য অনুসারে)

$\bar{F} = 0 + \bar{x}\bar{z} + x\bar{y} + \bar{y}\bar{z}$

$\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z} + \bar{y}\bar{z}$

এই রাশিটিতে আবার কনসেনসাস উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। এখানে $A=x$, $B=\bar{y}$ এবং $C=\bar{z}$ ধরলে, রাশিটি $AB + \bar{A}C + BC$ আকারের হয়। কনসেনসাস উপপাদ্য অনুযায়ী, এই ধরনের রাশিতে $BC$ পদটি অপ্রয়োজনীয়।

সুতরাং, $x\bar{y} + \bar{x}\bar{z} + \bar{y}\bar{z}$ সরলীকরণ হয়ে দাঁড়ায় $x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}$।

অতএব, $\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}$

প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যাক:

অপশন ১: $xy + yz$
অপশন ২: $x\bar{y} + \bar{y}\bar{z}$
অপশন ৩: $\bar{x}\bar{y} + \bar{y}\bar{z}$
অপশন ৪: $\bar{x}y + \bar{y}z$

গণনা অনুযায়ী প্রাপ্ত $\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}$ এর সাথে প্রদত্ত কোনো অপশনই মিলছে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 29

Practice

বুলিয়ান উপপাদ্য

আমাদের প্রচলিত এলজেবরার মতোই বুলিয়ান এলজেবরার বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে। এর মাঝে পুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি নিচে দেখানো হলো। বুলিয়ান এলজেবরা যেহেতু [0, 1] সেট দিয়ে তৈরি তাই চলকের (Variable) মান একবার 0 এবং আরেকবার 1 বসিয়ে এই উপপাদ্যগুলো খুবই সহজেই প্রমাণ করা যায়।

এখানে বেশ কিছু উপপাদ্য আমাদের পরিচিত এলজেবরার সাথে সম্পত্তিপূর্ণ আবার বেশ কিছু উপপাদ্যের পরিচিত উপপাদ্যের সাথে মিল নেই।

x.x = 0

উদাহরণ : বিভাজন উপপাछx + y2 = (x + y) (x + 2) টি প্রমাণ কর।

উত্তর : ডানদিক (x + y) (x + 2)

= xx + xz + yx + yz

= x + xz + yx + yz Idempotent x.x = x

= x(1+ z) + yx + yz

= x + yx + yz

Domination 1+ z = 1

= x(1 + y) + yz

= x + yz

Domination 1. 1 + y = 1

= বাম দিক (প্রমাণি)

উদাহরণ : ডি মরগানের উপপাদ্য দুটি প্রতি ক্ষেত্রের জন্য মান বসিয়ে প্রমাণ কর ।

উত্তর : এখানে যেহেতু x এবং y দুটি চলক রয়েছে, দুটিরই মান হওয়া সম্ভব 0 এবং 1 কাজেই সর্বমোট ২৭ বা চারটি ভিন্ন মান হওয়া সম্ভব। প্রত্যেকটির জন্য আলাদাভাবে দেখা যেতে পারে।

নিজে কর : বুলিয়ান এলজেবরার ভেতর কোন কোন উপপাদ্যগুলো আমাদের পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন। (Hint : চলক x, y, z এর জন্য 0 এবং 1 -এর বাইরে কোনো মান বসানো হলে যেগুলো কাজ করে না সেগুলো পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন।)

আমাদের পরিচিত সাধারণ এলজেবরায় আমরা যেরকম বেশ কিছু চলক ব্যবহার করে অন্য আরেকটি বড় এক্সপ্রেশন তৈরি করতে পারি, বুলিয়ান এলজেবরার বেলাতেও সেটা সত্যি। সাধারণ এলজেবরার মতো বুলিয়ান এলক্ষেরাতেও আমরা বুলিয়ান উপপাদ্যগুলো ব্যবহার করে সেগুলো অনেক সরল করে ফেলতে পারি। যেমন ধরা যাক x, y এবং z এই তিনটি চলক ব্যবহার করে নিচের এক্সপ্রেশনটি লেখা হয়েছে :

xyz + xy + x

এটাকে আমরা এভাবে সরল রুপ দিতে পারি :

xyz + xy + x = xy ( 2 + 1 ) + x = xy + x = x y + 1) = x

এটাকে সরল করার জন্য আমরা domination উপপাদ্য 2 + 1 = 1 এবং y + 1 = 1 ব্যবহার করেছি।

: xyz + x 77 + xyz + xyz এক্সপ্রেশনটিকে সরল করা।

: xyz + xyz + xyz + xyz

= xz(y + y) +xz (y+y)

= x2 + x 2 যেহেতু (y + y) = 1

= 2 (x + x)

= 2 যেহেতু (x + x) = 1

আমরা যখন ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের শুরুতে নানা ধরনের পেট নিয়ে আলোচনা করব তখন দেখব বুলিয়ান এলজেবরার এভাবে একটি বড় এবং জটিল এক্সপ্রেশনকে সরল করতে পারলে একটি জটিল সার্কিটকে অনেক ছোট করে ফেলা যায়।