Find the remainder when $7^{11} + 7^{111} + 7^{1111}$ is divided by 8.

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান: আমাদেরকে \(7^{11} + 7^{111} + 7^{1111}\) কে 8 দ্বারা ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকবে তা নির্ণয় করতে হবে। এটি মডুলার অ্যারিথমেটিকের (Modular Arithmetic) একটি সমস্যা। মডুলার অ্যারিথমেটিকের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো: যদি \(a \equiv b \pmod{n}\) হয়, তাহলে \(a^k \equiv b^k \pmod{n}\) হবে। এছাড়াও, যদি \(a+b+c\) কে \(n\) দ্বারা ভাগ করার ভাগশেষ বের করতে হয়, তাহলে \((a \pmod{n} + b \pmod{n} + c \pmod{n}) \pmod{n}\) নির্ণয় করলেই হয়। এখানে, লক্ষ্য করুন 7 এবং 8 এর সম্পর্ক। আমরা জানি, 7 কে 8 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 7 থাকে। অথবা, আরও সহজে, \(7 \equiv -1 \pmod{8}\) লেখা যায়। এই পদ্ধতিটি ঘাত-সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানের জন্য খুবই কার্যকর। এখন, প্রতিটি পদের জন্য আলাদাভাবে ভাগশেষ নির্ণয় করব:

প্রথম পদ: \(7^{11}\)

যেহেতু \(7 \equiv -1 \pmod{8}\), অতএব, \(7^{11} \equiv (-1)^{11} \pmod{8}\) যেহেতু 11 একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই \( (-1)^{11} = -1 \)। সুতরাং, \(7^{11} \equiv -1 \pmod{8}\) মডুলার ভাগশেষ কখনও ঋণাত্মক হয় না, তাই \(-1\) এর সমতুল্য ধনাত্মক ভাগশেষ হলো \(-1 + 8 = 7\)। সুতরাং, \(7^{11} \pmod{8} = 7\)।

দ্বিতীয় পদ: \(7^{111}\)

যেহেতু \(7 \equiv -1 \pmod{8}\), অতএব, \(7^{111} \equiv (-1)^{111} \pmod{8}\) যেহেতু 111 একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই \( (-1)^{111} = -1 \)। সুতরাং, \(7^{111} \equiv -1 \pmod{8}\) \(-1 \equiv 7 \pmod{8}\)। সুতরাং, \(7^{111} \pmod{8} = 7\)।

তৃতীয় পদ: \(7^{1111}\)

যেহেতু \(7 \equiv -1 \pmod{8}\), অতএব, \(7^{1111} \equiv (-1)^{1111} \pmod{8}\) যেহেতু 1111 একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই \( (-1)^{1111} = -1 \)। সুতরাং, \(7^{1111} \equiv -1 \pmod{8}\) \(-1 \equiv 7 \pmod{8}\)। সুতরাং, \(7^{1111} \pmod{8} = 7\)। এখন, এই তিনটি পদের যোগফলের ভাগশেষ নির্ণয় করব: \[(7^{11} + 7^{111} + 7^{1111}) \pmod{8}\] \[\equiv (7 \pmod{8} + 7 \pmod{8} + 7 \pmod{8}) \pmod{8}\] \[\equiv (7 + 7 + 7) \pmod{8}\] \[\equiv 21 \pmod{8}\] 21 কে 8 দ্বারা ভাগ করলে: \(21 = 2 \times 8 + 5\) সুতরাং, \(21 \equiv 5 \pmod{8}\)। অতএব, \(7^{11} + 7^{111} + 7^{1111}\) কে 8 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 5।

💡 শর্টকাট টেকনিক: যখন একটি সংখ্যা \(a\) কে \(a+1\) দ্বারা ভাগ করা হয়: 1. যদি \(a\) এর ঘাত \(n\) বিজোড় হয়, তাহলে \(a^n \pmod{a+1} = a\)। (কারণ \(a \equiv -1 \pmod{a+1}\) এবং \( (-1)^n = -1 \equiv a \pmod{a+1}\)) 2. যদি \(a\) এর ঘাত \(n\) জোড় হয়, তাহলে \(a^n \pmod{a+1} = 1\)। (কারণ \(a \equiv -1 \pmod{a+1}\) এবং \( (-1)^n = 1 \pmod{a+1}\)) এই সমস্যায়, \(a=7\) এবং বিভাজক \(a+1=8\)। প্রতিটি পদের ঘাত (11, 111, 1111) বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং, উপরের 1 নম্বর নিয়ম অনুযায়ী: \(7^{11} \pmod{8} = 7\) \(7^{111} \pmod{8} = 7\) \(7^{1111} \pmod{8} = 7\) সবগুলো ভাগশেষ যোগ করে পাই: \((7 + 7 + 7) \pmod{8}\) \(= 21 \pmod{8}\) \(= 5\) সুতরাং, নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 5।