f(x) এর একটি উৎপাদক (3x + 2) হলে নিচের কোনটির মান শূন্য হবে ?

বিস্তারিত সমাধান:

উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুসারে, যদি \(f(x)\) একটি বহুপদী (polynomial) হয় এবং \((x - a)\) তার একটি উৎপাদক হয়, তবে \(f(a)\) এর মান শূন্য হবে। এর মানে হল, যদি একটি বহুপদীর একটি উৎপাদক \((x - a)\) হয়, তবে \(x = a\) বসালে বহুপদীর মান শূন্য হয়।

একইভাবে, যদি \((ax + b)\) একটি বহুপদী \(f(x)\) এর উৎপাদক হয়, তবে উৎপাদকটিকে শূন্যের সমান ধরে \(x\) এর যে মান পাওয়া যায়, সেই মানের জন্য \(f(x)\) এর মান শূন্য হবে। অর্থাৎ, \(ax + b = 0\) হলে \(x = -\frac{b}{a}\) এবং এই ক্ষেত্রে \(f\left(-\frac{b}{a}\right) = 0\) হবে।

এই সমস্যায়, \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক হলো \((3x + 2)\)।

উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা প্রথমে উৎপাদকটিকে শূন্যের সমান ধরি এবং \(x\) এর মান বের করি:

    
• \(3x + 2 = 0\)
    
• \(3x = -2\)
    
• \(x = -\frac{2}{3}\)

সুতরাং, উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, \(f\left(-\frac{2}{3}\right)\) এর মান শূন্য হবে।

বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করি:

    
• বিকল্প 1: \(f\left(-\frac{2}{3}\right)\) - এটি উৎপাদক \((3x + 2)\) কে শূন্যের সমান ধরে \(x\) এর যে মান পাওয়া যায় তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তাই, এটি সঠিক।
    
• বিকল্প 2: \(f(2)\) - এখানে \(x\) এর মান \(2\) ধরা হয়েছে, যা উৎপাদক থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের সাথে মেলে না।
    
• বিকল্প 3: \(f\left(\frac{3}{2}\right)\) - এখানে \(x\) এর মান \(\frac{3}{2}\) ধরা হয়েছে, যা উৎপাদক থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের সাথে মেলে না।
    
• বিকল্প 4: \(f(-3)\) - এখানে \(x\) এর মান \(-3\) ধরা হয়েছে, যা উৎপাদক থেকে প্রাপ্ত \(x\) এর মানের সাথে মেলে না।

অতএব, \(f(x)\) এর উৎপাদক \((3x + 2)\) হলে, \(f\left(-\frac{2}{3}\right)\) এর মান শূন্য হবে।