If sin x + cos x = 1 , then x = ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\( \sin x + \cos x = 1 \)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\( (\sin x + \cos x)^2 = 1^2 \)

\( \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 \)

আমরা জানি, \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) এবং \( 2 \sin x \cos x = \sin (2x) \)

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\( 1 + \sin (2x) = 1 \)

উভয় পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে পাই:

\( \sin (2x) = 0 \)

আমরা জানি, \( \sin \theta = 0 \) হলে \( \theta = n\pi \) যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

অতএব,

\( 2x = n\pi \)

\( x = \frac{n\pi}{2} \)

এখন, আমরা \( n \) এর বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যার মানের জন্য \( x \) এর মান পরীক্ষা করব।

    
• যদি \( n = 0 \) হয়, \( x = \frac{0 \cdot \pi}{2} = 0^\circ \)
    
• যদি \( n = 1 \) হয়, \( x = \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{2} \) রেডিয়ান বা \( 90^\circ \)
    
• যদি \( n = 2 \) হয়, \( x = \frac{2 \cdot \pi}{2} = \pi \) রেডিয়ান বা \( 180^\circ \)
    
• যদি \( n = 3 \) হয়, \( x = \frac{3 \cdot \pi}{2} = 270^\circ \)

তবে, বর্গ করার কারণে কিছু অপ্রাসঙ্গিক সমাধান (extraneous solutions) আসতে পারে, তাই মূল সমীকরণে \( x \) এর এই মানগুলো বসিয়ে যাচাই করতে হবে।

১. \( x = 0^\circ \) এর জন্য:

\( \sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 0 + 1 = 1 \)

এটি সঠিক।

২. \( x = 90^\circ \) এর জন্য:

\( \sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1 + 0 = 1 \)

এটি সঠিক।

৩. \( x = 180^\circ \) এর জন্য:

\( \sin 180^\circ + \cos 180^\circ = 0 + (-1) = -1 \)

এটি প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

৪. \( x = 270^\circ \) এর জন্য:

\( \sin 270^\circ + \cos 270^\circ = -1 + 0 = -1 \)

এটিও প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

সুতরাং, \( x = 0^\circ \) এবং \( x = 90^\circ \) হলো সমাধান। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে \( 90^\circ \) বিদ্যমান।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

দেওয়া অপশনগুলো সরাসরি মূল সমীকরণে বসিয়ে সঠিক উত্তর যাচাই করা যেতে পারে:

১. \( x = 30^\circ \) হলে:

\( \sin 30^\circ + \cos 30^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} = 1.366 \neq 1 \)

২. \( x = 45^\circ \) হলে:

\( \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414 \neq 1 \)

৩. \( x = 60^\circ \) হলে:

\( \sin 60^\circ + \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx 1.366 \neq 1 \)

৪. \( x = 90^\circ \) হলে:

\( \sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1 + 0 = 1 \)

এটি সঠিক।