If the ratio of the area of a sector to the area of the circle is 3 : 5, what is the ratio of the length of the arc in the sector to the circumference of the circle?

বিস্তারিত সমাধান:

একটি বৃত্তের সেক্টরের ক্ষেত্রফল এবং বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফলের অনুপাত, ওই সেক্টরের বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তের পরিধির অনুপাতের সমান হয়। এর কারণ হলো, উভয় অনুপাতই বৃত্তের কেন্দ্রে সেক্টর দ্বারা উৎপন্ন কোণের সমানুপাতিক।

আমরা জানি,

    
• সেক্টরের ক্ষেত্রফল (\(A_s\)) = \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
    
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল (\(A_c\)) = \( \pi r^2 \)
    
• বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য (\(L_a\)) = \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
    
• বৃত্তের পরিধি (\(C\)) = \( 2\pi r \)

যেখানে, \( \theta \) হলো সেক্টর দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ এবং \( r \) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সুতরাং,

\( \frac{\text{সেক্টরের ক্ষেত্রফল}}{\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল}} = \frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2}{\pi r^2} = \frac{\theta}{360^\circ} \)

এবং

\( \frac{\text{বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য}}{\text{বৃত্তের পরিধি}} = \frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r}{2\pi r} = \frac{\theta}{360^\circ} \)

উপরিউক্ত দুটি অনুপাতই \(\frac{\theta}{360^\circ}\) এর সমান, তাই তারা একে অপরের সমান।

অর্থাৎ,

\( \frac{\text{সেক্টরের ক্ষেত্রফল}}{\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল}} = \frac{\text{বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য}}{\text{বৃত্তের পরিধি}} \)

প্রশ্নে দেওয়া আছে যে, সেক্টরের ক্ষেত্রফল ও বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হলো 3 : 5।

অতএব,

\( \frac{\text{বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য}}{\text{বৃত্তের পরিধি}} = \frac{3}{5} \)

সুতরাং, সেক্টরের বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তের পরিধির অনুপাতও 3 : 5 হবে।