If \(y = \frac{3x - 6}{x}\), then for what values of x, y will be positive? (যদি \(y = \frac{3x - 6}{x}\) হয়, তবে \(x\)-এর কোন মানগুলোর জন্য \(y\)-এর মান ধনাত্মক হবে?)

পরমমান সমীকরণ ও অসমতা (Absolute Value Equations & Inequalities)

কোনো সংখ্যার পরমমান বলতে সংখ্যাটি শূন্য থেকে কত দূরে অবস্থান করছে তা বোঝায়। পরমমান সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হয়।

পরমমানের প্রতীক

পরমমানকে দুই পাশে উল্লম্ব দাগ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$\left|x\right|$

পরমমানের সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা ধনাত্মক বা শূন্য হয় তবে তার পরমমান সংখ্যাটি নিজেই হবে এবং ঋণাত্মক হলে চিহ্ন পরিবর্তন করে ধনাত্মক মান নিতে হবে।

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{cc}x& \text{,}x\ge 0\\ -x& \text{,}x<0\end{array}\right.$

উদাহরণ

নিচের সংখ্যাগুলোর পরমমান:

$\left|5\right|=5,|-7|=7,\left|0\right|=0$

পরমমান সমীকরণ

যে সমীকরণে পরমমান চিহ্ন থাকে তাকে পরমমান সমীকরণ বলে।

যদি,

$\left|x\right|=a$

এবং a একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে

$x=a\text{অথবা}x=-a$

উদাহরণ

সমীকরণটি সমাধান করি:

$|x-3|=5$

তাহলে,

$x-3=5$

অথবা,

$x-3=-5$

সুতরাং,

$x=8\text{অথবা}x=-2$

পরমমান অসমতা

যে অসমতায় পরমমান চিহ্ন থাকে তাকে পরমমান অসমতা বলে।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

যদি,

$\left|x\right|<a$

তবে,

$-a<x<a$

এবং যদি,

$\left|x\right|>a$

তবে,

$x<-a\text{অথবা}x>a$

উদাহরণ

অসমতাটি সমাধান করি:

$\left|x\right|<4$

তাহলে,

$-4<x<4$

অর্থাৎ x এর মান −4 এবং 4 এর মধ্যবর্তী হবে।

গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

• পরমমান কখনো ঋণাত্মক হয় না।
• পরমমান দূরত্ব নির্দেশ করে।
• |a − b| দ্বারা a ও b এর মধ্যকার দূরত্ব বোঝায়।
• পরমমান সমীকরণের সাধারণত দুইটি সমাধান হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

পরমমান মানে শুধু সংখ্যার ধনাত্মক দূরত্ব। চিহ্ন বাদ দিলে যে মান পাওয়া যায় সেটিই পরমমান।