In an examination, 70% students passed in Physics and 65% students passed in Chemistry. If 45% students passed in both subjects, and 42 students failed in both subjects, what is the total number of students?

বিস্তারিত সমাধান:

এই সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা সেট তত্ত্বের (Set Theory) ধারণা ব্যবহার করব।

দেওয়া আছে:

    
• পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করেছে = 70%
    
• রসায়নে পাশ করেছে = 65%
    
• উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = 45%
    
• উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = 42 জন

প্রথমে, অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ বের করি। এর জন্য ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন নীতি (Inclusion-Exclusion Principle) ব্যবহার করা হয়:

অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ \(P(\text{P} \cup \text{C}) = P(\text{P}) + P(\text{C}) - P(\text{P} \cap \text{C})\)

\(= 70\% + 65\% - 45\%\)

\(= 135\% - 45\%\)

\(= 90\%\)

অর্থাৎ, মোট শিক্ষার্থীর 90% অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করেছে।

এখন, উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর শতাংশ বের করি। মোট শিক্ষার্থী 100% হলে, যারা অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করেনি তারাই উভয় বিষয়ে ফেল করেছে:

উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর শতাংশ \(= 100\% - (\text{অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ})\)

\(= 100\% - 90\%\)

\(= 10\%\)

প্রশ্নানুসারে, উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা 42 জন।

সুতরাং, মোট শিক্ষার্থীর 10% = 42 জন।

ধরি, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা \(T\)।

তাহলে, \(T\) এর \(10\% = 42\)

বা, \(\frac{10}{100} \times T = 42\)

বা, \(T = \frac{42 \times 100}{10}\)

বা, \(T = 42 \times 10\)

বা, \(T = 420\)

সুতরাং, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা 420 জন।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এ ধরনের সমস্যায় মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা সরাসরি নির্ণয় করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করতে পারি:

    
1. প্রথম ও দ্বিতীয় বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ যোগ করুন।
    
2. উভয় বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ বাদ দিন। এটি অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর শতাংশ।
    
3. 100% থেকে এই শতাংশ বাদ দিন। এটি উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর শতাংশ।
    
4. উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যাকে প্রাপ্ত শতাংশ দিয়ে ভাগ করে 100 দিয়ে গুণ করুন।

ধাপ 1 ও 2 (অন্তত একটি বিষয়ে পাশ):

\(70\% + 65\% - 45\% = 135\% - 45\% = 90\%\)

ধাপ 3 (উভয় বিষয়ে ফেল):

\(100\% - 90\% = 10\%\)

ধাপ 4 (মোট শিক্ষার্থী):

মোট শিক্ষার্থী \(= \frac{\text{উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা}}{\text{উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর শতাংশ}} \times 100\)

\(= \frac{42}{10} \times 100\)

\(= 4.2 \times 100\)

\(= 420\)

সুতরাং, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা 420 জন।