k-এর মান কত হলে $x^2-6x-1+k(2x+1)=0$ সমীকরণের মূল দুইটি সমান হবে?

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো, এর নিশ্চয়ক (Discriminant), \(D = b^2 - 4ac = 0\) হবে।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(x^2 - 6x - 1 + k(2x + 1) = 0\)

প্রথমে, সমীকরণটিকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারে সাজাই:

\(x^2 - 6x - 1 + 2kx + k = 0\)

\(x^2 + (2k - 6)x + (k - 1) = 0\)

এখানে, \(a = 1\), \(b = (2k - 6)\), এবং \(c = (k - 1)\)।

মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, নিশ্চয়ক শূন্য হবে:

\(b^2 - 4ac = 0\)

মান বসিয়ে পাই:

\((2k - 6)^2 - 4(1)(k - 1) = 0\)

\( (2k)^2 - 2 \cdot (2k) \cdot 6 + 6^2 - 4k + 4 = 0 \)

\(4k^2 - 24k + 36 - 4k + 4 = 0\)

\(4k^2 - 28k + 40 = 0\)

সমীকরণটিকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(k^2 - 7k + 10 = 0\)

এখন, \(k\) এর জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

\(k^2 - 5k - 2k + 10 = 0\)

\(k(k - 5) - 2(k - 5) = 0\)

\((k - 5)(k - 2) = 0\)

সুতরাং, \(k - 5 = 0\) অথবা \(k - 2 = 0\)

\(k = 5\) অথবা \(k = 2\)

অতএব, \(k\)-এর মান 2 অথবা 5 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে।